Java算法之最长公共子序列问题(LCS)实例分析

本文实例讲述了Java算法之最长公共子序列问题(LCS)。分享给大家供大家参考，具体如下：

问题描述：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。确切地说，若给定序列X= { x1, x2,…, xm}，则另一序列Z= {z1, z2,…, zk}是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列 {i1, i2,…, ik}，使得对于所有j=1,2,…,k有 Xij=Zj。例如，序列Z={B,C,D,B}是序列X={A,B,C,B,D,A,B}的子序列，相应的递增下标序列为{2,3,5,7}。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X= { A, B, C, B, D, A, B}和Y= {B, D, C, A, B, A}，则序列{B,C,A}是X和Y的一个公共子序列，序列{B,C,B,A}也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。给定两个序列X= {x1, x2, …, xm}和Y= {y1, y2, … , yn}，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。

问题解析：设X= { A, B, C, B, D, A, B},Y= {B, D, C, A, B, A}。求X，Y的最长公共子序列最容易想到的方法是穷举法。对X的多有子序列，检查它是否也是Y的子序列，从而确定它是否为X和Y的公共子序列。由集合的性质知，元素为m的集合共有2^m个不同子序列，因此，穷举法需要指数级别的运算时间。进一步分解问题特性，最长公共子序列问题实际上具有最优子结构性质。

设序列X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,……zk}。则有：

(1)若xm=yn,则zk=xm=yn,且zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm!=yn且zk!=xm，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列。
(3)若xm!=yn且zk!=yn，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中，Xm-1={x1,x2……xm-1}，Yn-1={y1,y2……yn-1},Zk-1={z1,z2……zk-1}。

递推关系：用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中，Xi={x1,x2……xi}，Yj={y1,y2……yj}。当i=0或j=0时，空序列是xi和yj的最长公共子序列。此时，c[i][j]=0；当i,j>0，xi=yj时，c[i][j]=c[i-1][j-1]+1；当i,j>0，xi!=yj时，
c[i][j]=max{c[i][j-1],c[i-1][j]}，由此建立递推关系如下：

构造最优解：由以上分析可知，要找出X={x1,x2,……xm}和Y={y1,y2,……yn}的最长公共子序列,可以按一下方式递归进行：当xm=yn时，找出xm-1和yn-1的最长公共子序列，然后在尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的最长公共子序列。当Xm!=Yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者为X和Y的最长公共子序列。设数组b[i][j]记录c[i][j]的值由哪一个子问题的解得到的，从b[m][n]开始，依其值在数组b中搜索，当b[i][j]=1时，表示Xi和Yj的最长公共子序列是由Xi-1和Yj-1的最长公共子序列在尾部加上xi所得到的子序列。当b[i][j]=2时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi-1和Yj-1的最长公共子序列相同。当b[i][j]=3时，表示Xi和Yj的最长公共子序列与Xi和Yj-1的最长公共子序列相同。

代码如下：

package LCS;public class LCS {  public static int[][] LCSLength ( String[] x, String[] y) {    int m = x.length;    int n = y.length;    int[][] b = new int[x.length][y.length];    int[][] c = new int[x.length][y.length];    for(int i = 1; i < m; i++) {      c[i][0] = 0;    }    for(int i = 1; i < n; i++) {      c[0][i] = 0;    }    for(int i = 1; i < m; i++) {      for(int j = 1; j < n; j++) {        if(x[i] == y[j]) {          c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;          b[i][j] = 1;        }        else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) {          c[i][j] = c[i-1][j];          b[i][j] = 2;        }        else {          c[i][j] = c[i][j-1];          b[i][j]=3;        }      }    }    return b;  }  public static void LCS(int[][] b, String[] x, int i, int j) {    if(i == 0|| j == 0) return;    if(b[i][j] == 1) {      LCS(b,x,i - 1, j - 1);      System.out.print(x[i] + " ");    }    else if(b[i][j] == 2) {      LCS(b,x,i - 1, j);    }    else LCS(b,x,i, j-1);  }  public static void main(String args[]) {    System.out.println("编程网测试结果：");    String[] x = {" ","A", "B", "C", "B", "D", "A", "B"};    String[] y = {" ","B", "D", "C", "A", "B", "A"};    int[][] b = LCSLength(x, y);    System.out.println("X和y的最长公共子序列是：");    LCS(b, x, x.length - 1, y.length - 1);  }}