一、torch.matmul
torch.matmul 是 PyTorch 中用于矩阵乘法的函数。它能够处理各种不同维度的张量,并根据张量的维度自动调整其操作方式。
torch.matmul 可以执行以下几种矩阵乘法:
- 二维张量之间的矩阵乘法:
- 这是经典的矩阵乘法操作。当两个张量都是二维的 (即矩阵),torch.matmul 进行标准的矩阵乘法操作。
- 例如:假设 A 是形状为 (m, n) 的张量,B 是形状为 (n, p) 的张量,那么 torch.matmul(A, B) 结果是一个形状为 (m, p) 的张量。
- 高维张量之间的矩阵乘法:
torch.matmul 可以处理更高维的张量。当输入张量的维度大于2时,它将执行批量矩阵乘法。
对于形状为 (..., m, n) 的张量 A 和形状为 (..., n, p) 的张量 B,torch.matmul(A, B) 的结果是形状为 (..., m, p) 的张量,其中 ... 表示相同的批量维度。批量维度部分将自动广播。
一维和二维张量的乘法:
当第一个张量是1D张量(向量),第二个张量是2D张量时,torch.matmul 会将1D张量视为行向量(或列向量)参与矩阵乘法。
例如:A 是形状为 (n,) 的张量,B 是形状为 (n, p) 的张量,那么 torch.matmul(A, B) 的结果是形状为 (p,) 的张量。
反之,如果第一个张量是2D张量,第二个是1D张量,则结果是一个形状为 (m,) 的张量。
import torch
# 示例 1: 二维张量之间的矩阵乘法
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
B = torch.tensor([[5, 6], [7, 8]])
result = torch.matmul(A, B)
print(result) # 输出: tensor([[19, 22], [43, 50]])
# 示例 2: 高维张量之间的矩阵乘法(批次矩阵乘法)
A = torch.rand(2, 3, 4)
B = torch.rand(2, 4, 5)
result = torch.matmul(A, B)
print(result.shape) # 输出: torch.Size([2, 3, 5])
# 示例 3: 1D 和 2D 张量之间的乘法
A = torch.tensor([1, 2, 3])
B = torch.tensor([[4, 5], [6, 7], [8, 9]])
result = torch.matmul(A, B)
print(result) # 输出: tensor([40, 46])
torch.matmul 支持广播,这意味着当输入张量的形状不完全匹配时,它可以自动扩展维度以进行相应的矩阵乘法。例如,两个张量的形状分别为 (1, 2, 3) 和 (3, 4),torch.matmul 可以将第二个张量自动扩展为形状 (1, 3, 4),然后进行批次矩阵乘法。
torch.matmul 底层使用了高效的线性代数库(如 BLAS),确保了矩阵乘法的性能。对于大型矩阵运算,torch.matmul 通常是非常高效的。它的灵活性和性能使得它成为 PyTorch 中广泛使用的操作之一。
二、torch.mm
torch.mm 是 PyTorch 中专门用于二维张量(矩阵)之间进行矩阵乘法的函数。与 torch.matmul 不同,torch.mm 仅适用于2D张量,并且不支持高维张量或广播操作。
torch.mm 进行标准的矩阵乘法操作,适用于两个2D张量(矩阵)之间的乘法。对于形状为 (m, n) 的张量 A 和形状为 (n, p) 的张量 B,torch.mm(A, B) 的结果是一个形状为 (m, p) 的张量。
import torch
# 示例 1: 二维张量之间的矩阵乘法
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = torch.tensor([[7, 8], [9, 10], [11, 12]])
result = torch.mm(A, B)
print(result) # 输出: tensor([[ 58, 64], [139, 154]])
在这个例子中,矩阵 A 的形状是 (2, 3),矩阵 B 的形状是 (3, 2)。结果矩阵的形状是 (2, 2),且每个元素是通过对应行与列元素的乘积之和计算得出的。
torch.mm 不支持广播机制,这意味着两个输入矩阵的形状必须严格匹配(即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数)。
torch.mm 是针对二维矩阵乘法优化的,它利用了底层的高效线性代数库(如 BLAS)。当仅需要进行2D张量的矩阵乘法时,torch.mm 可能比 torch.matmul 更加高效,因为它避免了 torch.matmul 中针对高维张量所做的额外处理。
注意事项:
输入张量必须是二维的。如果输入是高维张量,使用 torch.mm 会导致错误。两个矩阵的形状必须是兼容的,即第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数,否则会抛出维度不匹配的错误。
import torch
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
B = torch.tensor([1, 2])
# 这会引发一个错误,因为 B 不是二维张量
result = torch.mm(A, B) # RuntimeError: matrices expected, got 1D, 2D tensors
在上面的示例中,由于 B 是一维张量而非二维矩阵,因此 torch.mm 会抛出错误。解决方法是将 B 转换为二维张量,例如 B.unsqueeze(1),以使其形状符合矩阵乘法的要求。
torch.mm 常用于涉及矩阵乘法的各种场景,特别是在机器学习和深度学习中。例如,在神经网络的全连接层中,计算权重矩阵和输入向量的乘积时经常使用 torch.mm。此外,torch.mm 也可以用于线性代数中的基本操作,如求解线性方程组、计算特征值等。
torch.mm 它操作简洁且性能高效,适用于需要进行标准矩阵乘法的场景。对于二维矩阵乘法来说,它比 torch.matmul 更直接,因此在需要矩阵乘法且确定张量维度为2D的情况下,torch.mm 是一个理想的选择。
三、torch.bmm
torch.bmm 是 PyTorch 中用于进行批次矩阵乘法的函数。它专门处理三维张量,其中第一个维度表示批次大小,后两个维度表示需要进行矩阵乘法的矩阵。因此torch.bmm 是进行批次矩阵操作的一个高效工具。
torch.bmm 用于对形状为 (b, m, n) 的张量 A 和形状为 (b, n, p) 的张量 B 进行批次矩阵乘法,输出结果是形状为 (b, m, p) 的张量。这里,b 表示批次大小,m 和 n 是矩阵的行和列数,p 是结果矩阵的列数。
import torch
# 示例: 批次矩阵乘法
A = torch.randn(10, 3, 4) # 形状为 (10, 3, 4)
B = torch.randn(10, 4, 5) # 形状为 (10, 4, 5)
result = torch.bmm(A, B)
print(result.shape) # 输出: torch.Size([10, 3, 5])
在这个例子中:
- 张量 A 的形状是 (10, 3, 4),表示有10个3x4的矩阵。
- 张量 B 的形状是 (10, 4, 5),表示有10个4x5的矩阵。
- torch.bmm(A, B) 的结果是形状为 (10, 3, 5) 的张量,这表示批次中的每一对矩阵都进行了乘法操作。
torch.bmm 实际上是对批次中的每一对矩阵单独进行矩阵乘法操作,因此它要求输入张量的第一个维度(即批次大小)是相同的,并且后两个维度必须满足矩阵乘法的要求(即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数)。
torch.bmm 对批次矩阵乘法进行了优化,使用了高效的底层线性代数库。它在处理大型批次矩阵乘法时性能非常高效。由于它可以在批次上并行执行操作,因此特别适用于深度学习中的批量计算场景。
torch.bmm 只适用于三维张量,其中第一个维度表示批次大小。对于高于或低于三维的张量,它会报错。或者说他是torch.mm的批次化版本。torch.bmm 不支持广播机制,因此输入张量的第一个维度(批次大小)必须严格相同。
torch.bmm 常用于需要对多个矩阵对同时进行乘法操作的场景,特别是在深度学习中的以下情境:
- 批量计算:在训练神经网络时,我们通常将输入数据分批处理,每批次数据对应多个矩阵。torch.bmm 可以有效地处理这种批次矩阵操作。
- 图卷积网络(GCN):在图神经网络中,批次矩阵乘法经常用于计算节点特征和邻接矩阵的乘积。
- 时间序列模型:在时间序列建模中,可能需要对每个时间步长应用不同的变换矩阵,这时可以使用 torch.bmm 进行批量处理。
torch.bmm 是专门用于批次矩阵乘法。当需要对多个矩阵对同时进行乘法操作时,它提供了高效且简洁的解决方案。
四、torch.mul
torch.mul 是 PyTorch 中用于执行元素级乘法(也称为逐元素乘法)的函数。它可以对张量的每个元素进行对应位置的乘法操作,支持任意维度的张量,并且可以自动进行广播操作来适应不同形状的张量。
torch.mul 可以对两个张量的对应元素进行乘法运算。假设有两个张量 A 和 B,那么 torch.mul(A, B) 将返回一个新的张量,其中每个元素是 A 和 B 在相同位置的元素的乘积。这个操作等同于使用 * 操作符,如 A * B。
import torch
# 示例 1: 相同形状的张量的元素级乘法
A = torch.tensor([1, 2, 3])
B = torch.tensor([4, 5, 6])
result = torch.mul(A, B)
print(result) # 输出: tensor([ 4, 10, 18])
# 示例 2: 不同形状的张量进行广播后的元素级乘法
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = torch.tensor([10, 20, 30])
result = torch.mul(A, B)
print(result) # 输出: tensor([[10, 40, 90], [40, 100, 180]])
# 示例 3: 通过标量进行元素级乘法
A = torch.tensor([1, 2, 3])
result = torch.mul(A, 10)
print(result) # 输出: tensor([10, 20, 30])
在这些示例中:
- 在第一个示例中,A 和 B 是形状相同的张量,因此对应元素直接相乘。
- 在第二个示例中,A 是二维张量,而 B 是一维张量,PyTorch 自动对 B 进行广播,使其形状与 A 匹配,然后进行逐元素乘法。
- 在第三个示例中,A 和一个标量值相乘,每个元素都乘以该标量。
torch.mul 支持广播机制,这意味着当两个张量的形状不完全相同时,它可以自动扩展较小形状的张量,使其与较大形状的张量兼容,然后进行逐元素乘法。
import torch
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
B = torch.tensor([10, 20, 30])
result = torch.mul(A, B)
在这个例子中,A 的形状是 (2, 3),而 B 的形状是 (3,)。PyTorch 自动将 B 扩展为 (2, 3),然后对每个对应元素进行乘法运算。
torch.mul 是一个高效的逐元素操作,因为它直接在元素级别上进行计算,适用于需要对大批量数据进行逐元素操作的场景。它可以充分利用现代硬件的并行计算能力(如GPU),在处理大型张量时非常高效。
注意事项
虽然 torch.mul 支持广播,但在进行操作时,确保两个张量的形状是兼容的非常重要。如果形状不兼容,将会引发运行时错误。当使用标量时,标量会被自动广播到张量的每个元素,因此直接操作是安全的。
import torch
A = torch.tensor([1, 2, 3])
B = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
# 形状不兼容,无法进行逐元素乘法
result = torch.mul(A, B) # 会引发 RuntimeError: The size of tensor a (3) must match the size of tensor b (2) at non-singleton dimension 0
在这个错误示例中,由于 A 是一维张量,而 B 是二维张量且第一个维度不匹配,因此无法广播,导致错误。
torch.mul 在许多机器学习和深度学习任务中都非常有用。例如:
- 权重调整:在神经网络中,可以通过 torch.mul 来逐元素调整权重或激活值。
- 掩码操作:在图像处理中,可以使用 torch.mul 来对图像应用掩码,逐元素控制哪些部分需要保留或修改。
- 归一化:可以逐元素将张量归一化或缩放,以满足特定的算法要求。
torch.mul 在处理各种张量操作时非常有用。它支持广播机制,可以自动适应不同形状的张量,从而在多种应用场景中提供简洁而高效的解决方案。
五、torch.mv
torch.mv 是 PyTorch 中用于进行矩阵与向量乘法的函数。它专门用于二维张量(矩阵)和一维张量(向量)之间的乘法操作。torch.mv 是矩阵乘法的一种特殊情况,适用于当你需要将矩阵乘以向量时使用。
torch.mv 执行的是矩阵与向量的乘法操作。假设有一个矩阵 A,它的形状为 (m, n),以及一个向量 v,它的形状为 (n,),那么 torch.mv(A, v) 将返回一个形状为 (m,) 的一维张量(向量),结果是矩阵 A 与向量 v 的乘积。
import torch
# 示例: 矩阵与向量的乘法
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
v = torch.tensor([7, 8, 9])
result = torch.mv(A, v)
print(result) # 输出: tensor([ 50, 122])
在这个示例中,矩阵 A 的形状为 (2, 3),向量 v 的形状为 (3,)。通过 torch.mv(A, v),我们得到的结果是形状为 (2,) 的向量 [50, 122],其中每个元素是通过矩阵与向量的标准乘法计算得出的。
torch.mv 执行的矩阵与向量乘法遵循以下规则:对于矩阵 A 中的每一行,将该行与向量 v 的所有元素逐元素相乘,并将乘积的结果求和,得到一个标量。这个标量就是结果向量对应位置的值。
import torch
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
v = torch.tensor([7, 8, 9])
result = torch.mv(A, v)
# 结果:
# result[0] = 1*7 + 2*8 + 3*9 = 50
# result[1] = 4*7 + 5*8 + 6*9 = 122
torch.mv 专门用于矩阵和向量的乘法,比通用的矩阵乘法函数如 torch.matmul 或 torch.mm 更加高效,因为它避免了对多余维度的处理。这使得 torch.mv 在执行矩阵与向量乘法时速度更快,并且更适合用于大规模计算。
注意事项
矩阵 A 的列数(第二个维度)必须等于向量 v 的长度(第一个维度),否则将会报错。
import torch
A = torch.tensor([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
v = torch.tensor([7, 8])
# 这将引发错误,因为 v 的形状与 A 的列数不匹配
result = torch.mv(A, v) # 会引发 RuntimeError: size mismatch, m1: [2x3], m2: [2] at THTensorMath.cpp:41
在这个错误示例中,向量 v 的长度与矩阵 A 的列数不匹配,因此无法进行矩阵与向量乘法。
torch.mv 是 PyTorch 中用于执行矩阵与向量乘法的专用函数。它对矩阵与向量乘法进行了优化,能够高效处理这类操作,是线性代数、深度学习和科学计算中常用的工具。在许多应用场景中都很有用,特别是在以下情况下:
- 线性代数操作:在计算线性方程组、特征值问题等线性代数问题时,经常需要进行矩阵与向量的乘法。
- 神经网络计算:在神经网络的前向传播过程中,特别是全连接层中,权重矩阵与输入向量的乘法操作可以通过 torch.mv 高效地实现。
- 物理模拟:在一些物理模拟中,状态向量与转换矩阵的乘法操作可以通过 torch.mv 实现。
六、torch.dot
torch.dot 是 PyTorch 中用于计算两个一维张量(即向量)之间的点乘(内积)的函数。点乘是一种基本的向量操作,在许多数学和工程应用中都有广泛的应用。
torch.dot 计算的是两个向量之间的点积。假设有两个向量 a 和 b,它们的长度相同(即形状都为 (n,)),那么 torch.dot(a, b) 的结果是一个标量(即一个数值),这个值是通过对应位置的元素相乘后再求和得到的。
import torch
# 示例: 两个向量的点乘
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([4, 5, 6])
result = torch.dot(a, b)
print(result) # 输出: tensor(32)
在这个示例中:向量 a 的形状为 (3,),向量 b 的形状也是 (3,)。通过 torch.dot(a, b),我们得到了标量 32,其计算过程为:1*4 + 2*5 + 3*6 = 4 + 10 + 18 = 32。
torch.dot 计算点乘的方式是逐元素相乘,然后将结果求和。对于两个长度为 n 的向量 a 和 b,点积的计算公式如下:
result = (a[0] * b[0]) + (a[1] * b[1]) + ... + (a[n-1] * b[n-1])
torch.dot 是对两个一维张量进行点积的优化实现,由于其简单的计算流程和对向量操作的专门优化,它通常具有非常高的性能,特别是在 GPU 上处理大规模数据时表现尤为优异。
torch.dot 仅适用于一维张量(向量),如果输入的张量不是一维的,会引发错误。并且torch.dot 返回一个标量(标量张量),而不是张量。由于点积的对称性,torch.dot(a, b) 与 torch.dot(b, a) 的结果是相同的。
与其他操作的对比
- torch.matmul 和 torch.mm:这些函数用于矩阵乘法,适用于高维张量。torch.dot 只用于一维张量的点积。
- torch.mul:这是逐元素乘法,不是点积。torch.mul(a, b) 会返回一个与 a 和 b 形状相同的张量,其中每个元素是对应元素的乘积,而 torch.dot(a, b) 会返回一个标量。
torch.dot 是一个简单而高效的函数,专门用于计算一维张量之间的点积。在许多数学、物理和工程应用中,它是一个非常重要的工具。点积在很多场景中都有应用,包括但不限于:
- 向量投影:在几何中,点乘可以用于计算一个向量在另一个向量方向上的投影。
- 相似性计算:在信息检索和机器学习中,两个向量的点积可以用于衡量它们的相似性。例如,在词向量(Word Embeddings)的相似性计算中,点积是常用的度量方法之一。
- 能量计算:在物理学中,点积用于计算力和位移的乘积(即功的计算)。
七、torch.outer
torch.outer 是 PyTorch 中用于计算两个一维张量(即向量)之间的外积(外积矩阵)的函数。外积是线性代数中的一种基本运算,结果是一个矩阵,其元素是两个输入向量各元素的乘积。
torch.outer 计算的是两个向量的外积。假设有两个向量 a 和 b,它们的形状分别是 (n,) 和 (m,),那么 torch.outer(a, b) 的结果是一个形状为 (n, m) 的二维张量(矩阵),这个矩阵中的元素由 a[i] * b[j] 计算得到。
import torch
# 示例: 两个向量的外积
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([4, 5, 6])
result = torch.outer(a, b)
print(result)
# 输出:
# tensor([[ 4, 5, 6],
# [ 8, 10, 12],
# [12, 15, 18]])
在这个示例中:
- 向量 a 的形状为 (3,),向量 b 的形状也为 (3,)。
- 通过 torch.outer(a, b),我们得到了形状为 (3, 3) 的矩阵。这个矩阵的每个元素都是由 a[i] 和 b[j] 的乘积计算得出。
torch.outer 是对两个一维张量进行外积的优化实现。由于其操作涉及大量的元素乘法,因此在处理大型向量时,特别是在 GPU 上计算,torch.outer 的性能表现十分出色。
torch.outer 仅适用于一维张量,即向量,并返回一个二维张量(矩阵),其形状为 (n, m),其中 n 和 m 是输入向量的长度。
与其他操作的对比
- torch.matmul 和 torch.mm:这些函数用于矩阵乘法,适用于高维张量。torch.outer 专用于计算两个一维张量之间的外积。
- torch.mul:这是逐元素乘法。如果两个张量的形状相同,torch.mul(a, b) 将执行逐元素乘法,而不是计算外积。
torch.outer 是一个用于计算两个一维张量之间外积的高效工具。它在生成矩阵、处理双线性形式、构建张量积等应用中非常有用。外积在很多场景中都有应用,包括但不限于:
- 矩阵构建:外积可用于生成特定类型的矩阵,例如克罗内克积。
- 双线性形式:在双线性形式的表示中,外积经常用于构建张量。
- 机器学习:在神经网络的权重更新、特征交互等场景中,外积运算可以构造高阶特征。
8、torch.einsum
torch.einsum 是 PyTorch 中一个非常强大的函数,它使用爱因斯坦求和约定(Einstein Summation Convention)来执行复杂的张量操作。torch.einsum 的灵活性使得它可以用于各种矩阵和张量运算,包括矩阵乘法、转置、内积、外积、以及其他高阶张量运算。
爱因斯坦求和约定是一种简化张量操作的符号表示方法,其中重复的指标自动表示求和。torch.einsum 使用字符串表示张量操作,将输入张量的维度与输出维度通过指定的模式进行映射。
torch.einsum(equation, *operands)
equation:一个字符串,描述了输入和输出张量的维度关系。
*operands:一个或多个张量,参与计算的张量。
使用示例
1、矩阵乘法
矩阵乘法是最常见的张量操作之一。对于两个矩阵 A 和 B,使用 torch.einsum 进行矩阵乘法可以表示为:
import torch
A = torch.tensor([[1, 2], [3, 4]])
B = torch.tensor([[5, 6], [7, 8]])
result = torch.einsum('ik,kj->ij', A, B)
print(result) # 输出: tensor([[19, 22], [43, 50]])
这里,'ik,kj->ij' 表示:
- A 的维度为 i(行)和 k(列)。
- B 的维度为 k(行)和 j(列)。
- 输出的矩阵 C 的维度为 i(行)和 j(列),其中 k 是求和维度。
2、向量内积(点积)
对于两个向量 a 和 b,它们的内积可以用 torch.einsum 表示为:
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([4, 5, 6])
result = torch.einsum('i,i->', a, b)
print(result) # 输出: tensor(32)
这里,'i,i->' 表示:
- a 和 b 都是一维向量,维度为 i。
- 输出是一个标量(没有索引),表示所有元素的乘积之和。
3、向量外积
向量外积可以表示为:
a = torch.tensor([1, 2, 3])
b = torch.tensor([4, 5, 6])
result = torch.einsum('i,j->ij', a, b)
print(result)
# 输出:
# tensor([[ 4, 5, 6],
# [ 8, 10, 12],
# [12, 15, 18]])
这里,'i,j->ij' 表示:
- a 的维度为 i,b 的维度为 j。
- 输出矩阵 C 的维度为 ij,表示 a[i] 和 b[j] 的乘积。
torch.einsum 是一个通用且灵活的工具,但其性能可能不如专门为某些操作优化的函数(如 torch.matmul)。所以在性能关键的应用中,使用专门的张量操作函数可能会更高效。不过对于需要简洁表示复杂操作的场景,torch.einsum 仍然是首选。
总结
以下是对 PyTorch 中几种常用张量操作函数的总结:
- torch.matmul (矩阵乘法)
- 功能:执行矩阵乘法,支持二维矩阵、批量矩阵乘法、高维张量乘法。
- 应用:广泛用于神经网络中的矩阵运算,如全连接层的计算。
- torch.mm (矩阵乘法)
- 功能:专门用于二维张量(矩阵)之间的乘法,不支持广播和高维张量。
- 应用:适用于明确为二维矩阵的乘法操作,性能高效。
- torch.bmm (批次矩阵乘法)
- 功能:对三维张量进行批次矩阵乘法,适用于批量处理的场景。
- 应用:常用于深度学习中的批量数据处理和图神经网络中的邻接矩阵计算。
- torch.mul (元素级乘法)
- 功能:逐元素乘法,支持任意维度张量并自动广播。
- 应用:用于权重调整、掩码操作、数据归一化等逐元素运算。
- torch.mv (矩阵与向量乘法)
- 功能:用于二维矩阵与一维向量之间的乘法操作。
- 应用:适用于神经网络中的前向传播、线性代数操作。
- torch.dot (点乘)
- 功能:计算两个一维张量(向量)之间的点积,结果是一个标量。
- 应用:用于计算向量内积、向量相似性、物理学中的能量计算。
- torch.outer (外积)
- 功能:计算两个一维张量之间的外积,结果是一个二维矩阵。
- 应用:用于构建矩阵、处理双线性形式、特征交互等。
- torch.einsum (爱因斯坦求和约定)
- 功能:使用爱因斯坦求和约定进行复杂张量运算,包括矩阵乘法、转置、内积、外积等。
- 应用:广泛用于线性代数、物理学计算、机器学习中的复杂操作。
这些 PyTorch 张量操作函数各有其专门用途和应用场景。torch.matmul、torch.mm 和 torch.bmm 主要用于矩阵乘法;torch.mul 和 torch.outer 用于逐元素和外积操作;torch.mv 和 torch.dot 处理矩阵与向量、向量与向量的乘法;torch.einsum 则是处理复杂张量运算的多功能工具。