神经网络算法作为深度学习的基础模型之一，已经在图像识别、自然语言处理、时间序列预测等多个领域取得了显著的成功。
神经网络算法的基本结构
神经网络算法由输入层、隐藏层和输出层组成，每个层包含若干神经元。
- 输入层
输入层负责接收输入数据，每个神经元代表输入数据的一个特征。 - 隐藏层
隐藏层位于输入层和输出层之间，用于对数据进行复杂的非线性转换。
隐藏层的数量和神经元的数量是网络性能的重要参数。 - 输出层
输出层是神经网络的最后一层，它将隐藏层的计算结果转换为最终的输出。
输出层的神经元数量取决于具体任务。对于分类问题，输出层的神经元数量通常等于类别数；对于回归问题，输出层通常只有一个神经元。
神经元的工作原理
每个神经元接收来自上一层的输入值，这些输入值与神经元的权重相乘并累加得到一个加权和。然后，这个加权和通过一个非线性激活函数进行处理，得到该神经元的输出。
神经元的计算过程可以用以下公式表示：
其中， 是输入， 是对应的权重， 是偏置项， 是加权和。
加权和经过激活函数 后，得到神经元的输出：
激活函数
激活函数用于引入了非线性，从而让神经网络能够处理复杂的非线性关系。
常见的激活函数包括
- Sigmoid
输出范围为 0 到 1，常用于二分类问题。 - Tanh
输出范围为 −1 到 1 - ReLU
输出为正值时保持不变，负值时输出为零。
由于其计算简单且效果较好，ReLU 是最常用的激活函数之一。 - Softmax
常用于多分类问题，用于计算每个类的概率分布。
神经网络的工作过程
神经网络的工作过程可以概括为以下几个关键步骤：前向传播、损失计算、反向传播和权重更新。
通过这些步骤，神经网络从输入数据中学习，并调整权重以提高预测的准确性。
接下来，我们逐步详细解释每一个过程。
前向传播
前向传播是神经网络的预测过程，即从输入数据开始，一层一层地传递计算，最终得到输出结果。
具体步骤
- 输入层
将输入数据直接传递给第一层的神经元，每个输入对应一个神经元。 - 隐藏层计算
对于每一层的神经元，将上一层输出的值与当前层的权重 w 和偏置 b 进行线性组合，然后应用激活函数进行非线性转换。
数学表达为：其中， 是第 l 层的线性组合结果， 是第 l 层的权重矩阵， 是上一层的输出， 是偏置向量。
接下来通过激活函数 进行非线性变换
这里 是第 l 层的输出。 - 输出层计算
当传递到输出层时，网络的最终输出 会根据设计的任务有所不同。
损失函数
损失函数用于衡量神经网络输出（预测值）与实际目标值之间的差异。不同任务通常使用不同的损失函数。
- 对于回归问题，常用的损失函数是均方误差（MSE）其中， 是预测值， 是真实值， 是样本数。
- 对于分类问题，常用的损失函数是交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）其中， 是真实标签（0或1）， 是预测概率。
损失函数的输出是一个标量，它代表整个网络对当前数据集的预测误差。
反向传播
反向传播用于计算损失函数对网络中各个参数（权重和偏置）的梯度。
这个过程利用了链式法则，将误差从输出层逐层传播回去，从而更新每一层的参数。
反向传播步骤
- 输出层误差
首先计算输出层的误差，即损失函数对输出层激活值的偏导数其中， 表示输出层的误差， 是激活函数的导数。 - 隐藏层误差
对于隐藏层的神经元，误差由上一层传播过来，通过链式法则计算。
对于第 l 层，误差为：这里， 是第 层的误差， 是第 层的权重转置矩阵， 是激活函数的导数。 - 梯度计算
反向传播中，我们计算每一层的权重和偏置的梯度
- 权重梯度
- 偏置梯度
权重更新
通过反向传播计算得到每一层权重和偏置的梯度后，使用优化算法来更新参数。
其更新公式如下
- 权重更新
- 偏置更新
其中， 是学习率，控制每次更新的步长。
案例分享
下面是一个使用神经网络对鸢尾花数据集进行分类的示例代码。
import numpy as np
import tensorflow as tf
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense
from tensorflow.keras.optimizers import Adam
# 加载鸢尾花数据集
data = load_iris()
X = data.data
y = data.target.reshape(-1, 1)
encoder = OneHotEncoder()
y_onehot = encoder.fit_transform(y).toarray()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y_onehot, test_size=0.2, random_state=42)
# 构建神经网络模型
model = Sequential([
Dense(10, input_shape=(4,), activatinotallow='relu'), # 输入层，4个输入特征，10个神经元
Dense(10, activatinotallow='relu'), # 隐藏层，10个神经元
Dense(3, activatinotallow='softmax') # 输出层，3个输出类别
])
model.compile(optimizer=Adam(learning_rate=0.01), loss='categorical_crossentropy', metrics=['accuracy'])
# 训练模型
model.fit(X_train, y_train, epochs=100, batch_size=10, verbose=1)
# 评估模型
loss, accuracy = model.evaluate(X_test, y_test, verbose=0)
print(f'Test Loss: {loss:.3f}, Test Accuracy: {accuracy:.3f}')
