递归是一种较为抽象的数学逻辑,可以简单的理解为「程序调用自身的算法」。
维基百科对递归的解释是:
递归(英语:Recursion),又译为递回,在数学与计算机科学中,是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。
例如,当两面镜子相互之间近似平行时,镜中嵌套的图像是以无限递归的形式出现的。也可以理解为自我复制的过程。
"递"是传递的意思,"归"是归还的意思,先把一个方法一层层传递下去,然后传递到最后一层再把结果归还回来。
比方说我排队做核酸检测,前面有100个人,我想问下医务人员几点下班,于是问了我前面那兄弟,他又问了他前面的人,一个个传递下去,最终传递到了医务人员那里,回话说下午六点下班。这句话又往回传,最终到了我这里,我知道了医务人员六点下班。
这个过程就是一个递归过程,如果说"传话"本身是一种方法,那这整个传话过程就是在调用自身方法,最终获得了结果。
这和循环不一样,循环相当于给所有人都所有人都戴了耳机,然后有"中介"挨个去问你知道医务人员几点下班吗,等问到医务人员的时候,得到答案,“中介”告诉我六点下班。
实质上,递归就是把一个大问题不断拆解,像剥洋葱一样,最终拆解到最小层面,会返回解题结果。
用Python举一个最简单的递归函数例子,讲一讲什么是递归的应用。
我们经常会看到函数会调用自身来实现循环操作,比如求阶乘的函数。
整数n的阶乘即n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1
如下面5行Python代码,就能实现阶乘的计算
def fact(n):
''' n表示要求的数的阶乘 '''
if n==1:
return n
n = n*fact(n-1)
return n
print(factorial(5))
输出:
120
很多人可能困惑这里面的计算逻辑,为什么fact函数中调用了自身,最终能得到结果。
我们可以按照数学逻辑进行推演:
整数n的阶乘是:fact(n) = n*(n-1)*...*3*2*1
整数n-1的阶乘是:fact(n-1) = (n-1)*(n-2)*...*3*2*1
所以可以推断 fact(n) = n*fact(n-1)
这里是不是一种 fact方法可以为每个数所调用,最终调用到了n=1的时候,就返回结果n的阶乘。
大家看上图,递归函数会一层层往下调用,最终到n=1的时候,往上返回结果。
这就是递归的全过程,如果我们给递归下一个准确的定义,可以概括为以下3点:
1、至少有一个明确的递归结束条件;
2、给出递归终止时的处理办法;
3、每次进入更深一层递归时,问题规模(计算量)相比上次递归都应有所减少
以上面代码为例:
def factorial(n):
''' n表示要求的数的阶乘 '''
if n==1: # 1、明确递归终止条件;
return n # 2、递归终止时的处理办法
n = n*factorial(n-1) # 递去
return n # 归来
除了常见的阶乘案例,还有斐波那契数列,也是递归的经典用法。
斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...
这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。
它以如下被以递推的方法定义:F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n≥ 2,n∈ N*)
在Python中,我们可以使用递归函数的方式去实现斐波那契数列:
# 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,试判断数列第12个数是哪个?
def fab(n):
''' n为斐波那契数列 '''
if n <= 2:
v = 1
return v
v = fab(n-1)+fab(n-2)
return v
print(fab(12))
使用数学方法进行推导:
- fab(0) = 0(初始值)
- fab(1) = 1(初始值)
- 对所有大于1的整数n:fab(n) = fab(n-1)+ fab(n-2)(递归定义)
其实以上两个递归的案例都可以用数学归纳法来解释,就是高中数学的知识。
一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:
(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;
(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。
综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。
除了数学的解释,之前也看到有人对递归更加形象的解释:
1、我们已经完成了吗?如果完成了,返回结果。如果没有这样的终止条件,递归将会永远地继续下去。
2、如果没有,则简化问题,解决较容易的问题,并将结果组装成原始问题的解决办法。然后返回该解决办法。
哈哈,到这里大家是不是对递归有了一个更加深刻的认识。
如果还不清楚,没关系,这里还有更多的递归案例,用Python来实现,可以说非常简洁。
「最大公因数:」
def gcd(m, n):
if n == 0:
return m
else:
return gcd(n, m%n)
「从 1 到 n 的数字之和:」
def sumnums(n):
if n == 1:
return 1
return n + sumnums(n - 1)
print(sumnums(3))
「字符串倒序:」
def reverse(string):
if len(string) == 0:
return string
else:
return reverse(string[1:]) + string[0]
reverseme = '我是帅哥'
print(reverse(reverseme))
「汉诺塔问题:」
def towerOfHanoi(numrings, from_pole, to_pole, aux_pole):
if numrings == 1:
print('Move ring 1 from', from_pole, 'pole to', to_pole, 'pole')
return
towerOfHanoi(numrings - 1, from_pole, aux_pole, to_pole)
print('Move ring', numrings, 'from', from_pole, 'pole to', to_pole, 'pole')
towerOfHanoi(numrings - 1, aux_pole, to_pole, from_pole)
numrings = 2
towerOfHanoi(numrings, 'Left', 'Right', 'Middle')
「二分法找有序列表指定值:」
data = [1,3,6,13,56,123,345,1024,3223,6688]
def dichotomy(min,max,d,n):
'''
min表示有序列表头部索引
max表示有序列表尾部索引
d表示有序列表
n表示需要寻找的元素
'''
mid = (min+max)//2
if mid==0:
return 'None'
elif d[mid]<n:
print('向右侧找!')
return dichotomy(mid,max,d,n)
elif d[mid]>n:
print('向左侧找!')
return dichotomy(min,mid,d,n)
else:
print('找到了%s'%d[mid])
return
res = dichotomy(0,len(data),data,222)
print(res)
有位大佬说过:To Iterate is Human, to Recurse, Divine.
中文译为:人理解迭代,神理解递归。
可见递归是非常神奇的算法,它的神奇之处在于它允许用户用有限的语句描述无限的对象。
当然人无完人,递归也是有缺点的,它一般效率较低,且会导致调用栈溢出。
因为递归不断调用自身函数,且产生大量变量,而栈空间的容量是有限的,循环太多就会效率低下,甚至导致调用栈溢出
以上就是Python实例详解递归算法的详细内容,更多关于Python递归算法的资料请关注编程网其它相关文章!