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一篇学会监控二叉树!

2024-12-02 12:26

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给定一个二叉树,我们在树的节点上安装摄像头。

节点上的每个摄影头都可以监视其父对象、自身及其直接子对象。

计算监控树的所有节点所需的最小摄像头数量。

示例 1:

示例 2:

提示:

思路

这道题目首先要想,如何放置,才能让摄像头最小的呢?

从题目中示例,其实可以得到启发,我们发现题目示例中的摄像头都没有放在叶子节点上!

这是很重要的一个线索,摄像头可以覆盖上中下三层,如果把摄像头放在叶子节点上,就浪费的一层的覆盖。

所以把摄像头放在叶子节点的父节点位置,才能充分利用摄像头的覆盖面积。

那么有同学可能问了,为什么不从头结点开始看起呢,为啥要从叶子节点看呢?

因为头结点放不放摄像头也就省下一个摄像头, 叶子节点放不放摄像头省下了的摄像头数量是指数阶别的。

所以我们要从下往上看,局部最优:让叶子节点的父节点安摄像头,所用摄像头最少,整体最优:全部摄像头数量所用最少!

局部最优推出全局最优,找不出反例,那么就按照贪心来!

此时,大体思路就是从低到上,先给叶子节点父节点放个摄像头,然后隔两个节点放一个摄像头,直至到二叉树头结点。

此时这道题目还有两个难点:

确定遍历顺序

在二叉树中如何从低向上推导呢?

可以使用后序遍历也就是左右中的顺序,这样就可以在回溯的过程中从下到上进行推导了。

后序遍历代码如下:

  1. int traversal(TreeNode* cur) { 
  2.  
  3.     // 空节点,该节点有覆盖 
  4.     if (终止条件) return ; 
  5.  
  6.     int left = traversal(cur->left);    // 左 
  7.     int right = traversal(cur->right);  // 右 
  8.  
  9.     逻辑处理                            // 中 
  10.     return ; 

注意在以上代码中我们取了左孩子的返回值,右孩子的返回值,即left 和 right, 以后推导中间节点的状态

如何隔两个节点放一个摄像头

此时需要状态转移的公式,大家不要和动态的状态转移公式混到一起,本题状态转移没有择优的过程,就是单纯的状态转移!

来看看这个状态应该如何转移,先来看看每个节点可能有几种状态:

有如下三种:

我们分别有三个数字来表示:

大家应该找不出第四个节点的状态了。

一些同学可能会想有没有第四种状态:本节点无摄像头,其实无摄像头就是 无覆盖 或者 有覆盖的状态,所以一共还是三个状态。

因为在遍历树的过程中,就会遇到空节点,那么问题来了,空节点究竟是哪一种状态呢?空节点表示无覆盖?表示有摄像头?还是有覆盖呢?

回归本质,为了让摄像头数量最少,我们要尽量让叶子节点的父节点安装摄像头,这样才能摄像头的数量最少。

那么空节点不能是无覆盖的状态,这样叶子节点就要放摄像头了,空节点也不能是有摄像头的状态,这样叶子节点的父节点就没有必要放摄像头了,而是可以把摄像头放在叶子节点的爷爷节点上。

所以空节点的状态只能是有覆盖,这样就可以在叶子节点的父节点放摄像头了

接下来就是递推关系。

那么递归的终止条件应该是遇到了空节点,此时应该返回2(有覆盖),原因上面已经解释过了。

代码如下:

  1. // 空节点,该节点有覆盖 
  2. if (cur == NULLreturn 2; 

递归的函数,以及终止条件已经确定了,再来看单层逻辑处理。

主要有如下四类情况:

左孩子有覆盖,右孩子有覆盖,那么此时中间节点应该就是无覆盖的状态了。

如图:

监控二叉树2

代码如下:

  1. // 左右节点都有覆盖 
  2. if (left == 2 && right == 2) return 0; 

如果是以下情况,则中间节点(父节点)应该放摄像头:

left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖 left == 1 && right == 0 左节点有摄像头,右节点无覆盖 left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖,右节点摄像头 left == 0 && right == 2 左节点无覆盖,右节点覆盖 left == 2 && right == 0 左节点覆盖,右节点无覆盖

这个不难理解,毕竟有一个孩子没有覆盖,父节点就应该放摄像头。

此时摄像头的数量要加一,并且return 1,代表中间节点放摄像头。

代码如下:

  1. if (left == 0 || right == 0) { 
  2.     result++; 
  3.     return 1; 

如果是以下情况,其实就是 左右孩子节点有一个有摄像头了,那么其父节点就应该是2(覆盖的状态)

left == 1 && right == 2 左节点有摄像头,右节点有覆盖 left == 2 && right == 1 左节点有覆盖,右节点有摄像头 left == 1 && right == 1 左右节点都有摄像头

代码如下:

  1. if (left == 1 || right == 1) return 2; 

从这个代码中,可以看出,如果left == 1, right == 0 怎么办?其实这种条件在情况2中已经判断过了,如图:

监控二叉树1

这种情况也是大多数同学容易迷惑的情况。

以上都处理完了,递归结束之后,可能头结点 还有一个无覆盖的情况,如图:

监控二叉树3

所以递归结束之后,还要判断根节点,如果没有覆盖,result++,代码如下:

  1. int minCameraCover(TreeNode* root) { 
  2.     result = 0; 
  3.     if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖 
  4.         result++; 
  5.     } 
  6.     return result; 

以上四种情况我们分析完了,代码也差不多了,整体代码如下:

(以下我的代码注释很详细,为了把情况说清楚,特别把每种情况列出来。)

C++代码如下:

  1. // 版本一 
  2. class Solution { 
  3. private: 
  4.     int result; 
  5.     int traversal(TreeNode* cur) { 
  6.  
  7.         // 空节点,该节点有覆盖 
  8.         if (cur == NULLreturn 2; 
  9.  
  10.         int left = traversal(cur->left);    // 左 
  11.         int right = traversal(cur->right);  // 右 
  12.  
  13.         // 情况1 
  14.         // 左右节点都有覆盖 
  15.         if (left == 2 && right == 2) return 0; 
  16.  
  17.         // 情况2 
  18.         // left == 0 && right == 0 左右节点无覆盖 
  19.         // left == 1 && right == 0 左节点有摄像头,右节点无覆盖 
  20.         // left == 0 && right == 1 左节点有无覆盖,右节点摄像头 
  21.         // left == 0 && right == 2 左节点无覆盖,右节点覆盖 
  22.         // left == 2 && right == 0 左节点覆盖,右节点无覆盖 
  23.         if (left == 0 || right == 0) { 
  24.             result++; 
  25.             return 1; 
  26.         } 
  27.  
  28.         // 情况3 
  29.         // left == 1 && right == 2 左节点有摄像头,右节点有覆盖 
  30.         // left == 2 && right == 1 左节点有覆盖,右节点有摄像头 
  31.         // left == 1 && right == 1 左右节点都有摄像头 
  32.         // 其他情况前段代码均已覆盖 
  33.         if (left == 1 || right == 1) return 2; 
  34.  
  35.         // 以上代码我没有使用else,主要是为了把各个分支条件展现出来,这样代码有助于读者理解 
  36.         // 这个 return -1 逻辑不会走到这里。 
  37.         return -1; 
  38.     } 
  39.  
  40. public
  41.     int minCameraCover(TreeNode* root) { 
  42.         result = 0; 
  43.         // 情况4 
  44.         if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖 
  45.             result++; 
  46.         } 
  47.         return result; 
  48.     } 
  49. }; 

在以上代码的基础上,再进行精简,代码如下:

  1. // 版本二 
  2. class Solution { 
  3. private: 
  4.     int result; 
  5.     int traversal(TreeNode* cur) { 
  6.         if (cur == NULLreturn 2; 
  7.         int left = traversal(cur->left);    // 左 
  8.         int right = traversal(cur->right);  // 右 
  9.         if (left == 2 && right == 2) return 0; 
  10.         else if (left == 0 || right == 0) { 
  11.             result++; 
  12.             return 1; 
  13.         } else return 2; 
  14.     } 
  15. public
  16.     int minCameraCover(TreeNode* root) { 
  17.         result = 0; 
  18.         if (traversal(root) == 0) { // root 无覆盖 
  19.             result++; 
  20.         } 
  21.         return result; 
  22.     } 
  23. }; 

大家可能会惊讶,居然可以这么简短,其实就是在版本一的基础上,使用else把一些情况直接覆盖掉了。

在网上关于这道题解可以搜到很多这种神级别的代码,但都没讲不清楚,如果直接看代码的话,指定越看越晕,所以建议大家对着版本一的代码一步一步来哈,版本二中看不中用!。

总结

本题的难点首先是要想到贪心的思路,然后就是遍历和状态推导。

在二叉树上进行状态推导,其实难度就上了一个台阶了,需要对二叉树的操作非常娴熟。

 

这道题目是名副其实的hard,大家感受感受,哈哈。

 

来源: 代码随想录内容投诉

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