详解二叉树的遍历以及完全二叉树等6种二叉树

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但是一直以来，很多同学对于二叉树的掌握都是不太全面。今天我就来谈谈二叉树，希望你喜欢这个Java数据结构与算法这个专题，认真看完后你会对二叉树会有一个比较完整的了解。

本文作者：陈睿|mikechen 优知学院创始人

重点会谈到以下几点：

• 二叉树
• 二叉树的遍历方式
• 二叉树有哪些种类
• 满二叉树
• 完全二叉树
• 二叉搜索树
• 平衡二叉树(AVL)
• 左旋与右旋

1.什么是二叉树

二叉树：就是每个节点都只能有两个子节点的树结构，俗称 “大裤衩”，特别形象。

通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。

下图你一看就秒懂了。

 

 

2.二叉树遍历方式

2.1二叉树的遍历主要有三种：

 

 

1)先(根)序遍历(根左右)

2)中(根)序遍历(左根右)

3)后(根)序遍历(左右根)

2.2 先序遍历(根左右)

我先从第一种先序遍历开始谈起，主要的遍历顺序如下：

1)先访问根结点

2)然后先序遍历左子树

3)然后先序遍历右子树

还是举例说明，先序遍历下图

 

 

如果按照先序(根左右)遍历，结果将为： ABDFECGHI

2.3 中序遍历(左根右)

1)先中序遍历左子树

2)然后是根结点

3)然后中序遍历右子树

还是举例说明，中序遍历同一颗二叉树

 

 

按照中序遍历(左根右)，结果为： DBEFAGHCI

2.4 后序遍历

1)后序遍历左子树

2)后序遍历右子树

3)然后访问根节点

还是举例说明，后序遍历同一颗二叉树

 

 

按照后序遍历(左右根)结果为：DEFBHGICA

3.二叉树的种类

 

 

基本包含:

• 满二叉树
• 完全二叉树
• 二叉搜索树
• 平衡AVL树
• 红黑树也属于AVL树

我先从满二叉树谈起。

3.1满二叉树

1)满二叉树

一棵树深度为k，2^k-1个节点的树是满二叉树

2)满二叉树的形态

 

 

3)满二叉树的特征

所有内部节点都有两个子节点，最底一层是叶子节点。

如果一颗树深度为h，最大层数为k，且深度与最大层数相同，即k=h;

第k层的结点数是：2^(k-1)

总结点数是：2^k-1 (2的k次方减一)

总节点数一定是奇数。

树高：h=log2(n+1)

3.2.完全二叉树

1)完全二叉树

若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

2)完全二叉树的形态

 

 

3)完全二叉树的特征

深度为k的完全二叉树，至少有2^(k-1)个节点，至多有2^k-1个节点。

树高h=log2n + 1

满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

3.3.二叉查找/搜索/排序树-BST

1)二叉搜索树

二叉搜索树BST(Binary Search/ Sort Tree)，也称为二叉查找树，二叉排序树

 

 

备注：下面我就以二叉搜索树来统称，但是你要知道二叉搜索树、二叉查找树、二叉排序树，其实是同一种树。

2)二叉搜索树的特点

 

 

左子树上所有结点的值均小于等于它的根结点的值

右子树上所有结点的值均大于等于它的根结点的值

3)二叉搜索树的优缺点

优点：查找速度快，二叉查找树比普通树查找更快

缺点：出现平衡问题

二叉搜索树在经过多次插入与删除后，有可能导致如下右图的结构：

 

 

搜索性能已经是线性的了，所以，使用二叉搜索树还要考虑尽可能保持上面左图的结构，和避免上面右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题 。

4)二叉搜索树的时间复杂度

时间复杂度

二叉查找树比普通树查找更快，查找、插入、删除的时间复杂度为O(logN)。

缺点

二叉查找树有一种极端的情况，就是会变成一种线性链表似的结构，此时时间复杂度就变味了O(N)，为了解决这种情况，所以出现了下面我即将谈到的二叉平衡树。

备注：时间复杂度

• O(1)：最低的时空复杂度，也就是耗时与输入数据大小无关，无论输入数据增大多少倍，耗时/耗空间都不变。哈希算法就是典型的O(1)时间复杂度，无论数据规模多大，都可以在一次计算后找到目标。
• O(n)：代表数据量增大几倍，耗时也增大几倍。比如常见的遍历算法。
• O(logn)：当数据增大n倍时，耗时增大logn倍(这里的log是以2为底的，比如，当数据增大256倍时，耗时只增大8倍，是比线性还要低的时间复杂度)。二分查找就是O(logn)的算法，每找一次排除一半的可能，256个数据中查找只要找8次就可以找到目标。

3.4.平衡二叉树(AVL树)

1)平衡二叉树

平衡二叉树全称平衡二叉搜索树，也叫AVL树,是一种自平衡的树，从上面二叉搜索树升级过来的，重点是改进了平衡问题。

2)平衡二叉树的特征

 

 

• AVL树也规定了左结点小于根节点，右结点大于根节点。
• 并且还规定了左子树和右子树的高度差不得超过1，这样保证了它不会成为线性的链表。

3)AVL树怎么解决平衡

主要就是通过左旋和右旋来解决，防止特殊情况下出现下面的线性结构。

 

 

所以通过下图的左旋和右旋来解决上面的平衡问题。

 

 

 

 

但也有对应的缺点，由于要维持自身的平衡，所以进行插入和删除结点操作的时候，需要对结点进行频繁的旋转。

4.结语

通过上述的介绍，已经对于二叉树有了初步的认识。本篇文章介绍的基础知识希望读者能够牢牢掌握，并且能够在脑海中建立一棵二叉树的模型，为后续学习数据结构与算法打好基础。