大数加减乘除，一文彻底搞定

前言

大家好，我是bigsai!(上次发布的忘加原创并且今天的把内容扩充了一下)最近，大数加减频频登上笔试的舞台，小伙伴们在群里也分享自己遇到面试官碰到大数运算的题目，想着这么重要而简单的知识点我还没写过，那得好好和大家一起总结一下。

群内情况

各位有过分类刷题的小伙伴，可能看到很多人分类 字符串、贪心、动态规划、bfs、dfs、大数、数论等，初听大数，你可能会差异：大数是个啥?听起来怪高大上的。

大数，其实就是很大很大数字(可能远超32、64位，基础类型无法表示)的加减法，在Java中我们可以使用一个大数类(BigInteger等)很容易解决大数的各种运算，但如果遇到面试官他肯定会让你手写的。

这个数字一般用字符串、链表等形式表示、返回，大数运算的核心就是：模拟，模拟我们日常用纸笔算数字的加减乘除流程，然后再根据计算机、编程语言等特性适当存储计算即可，不过，大数除法运算稍微特殊一点，和我们直接模拟的思维方式稍有不同，它就是转换了一下成特殊的加减法运算，后面会细谈。

大数加法

大数加法是最简单的，简单模拟即可。首先，我们想一下两个数加法的流程：从右向左计算求和、进位，一直到最后。

在编程语言中同样也是模拟从右向左逐位相加的过程，不过在具体实现上需要注意一些细节。

枚举字符串将其转换成char[]提高效率

从右往左进行计算，可以将结果放到一个数组中最后组成字符串，也可以使用StringBuider拼接，拼接的时候最后要逆置一下顺序。

余数每次叠加过需要清零，两数相加如果大于等于10即有余数，添加到结果中该位置的数也应该是该数%10的结果。

计算完最后还要看看余数是否为1，如果为1需要将其添加到结果，例如 "991"+"11"算三个位置为002但还有一个余数需要添加，所以应该是1002。

一个加法流程

当然在具体实现上方法较多，你可以首先就将字符串逆置然后从前往后就可以计算了。当然我这里实现的是字符串从后向前各个位对应计算，然后将结果顺序添加到StringBuilder上。

这题在力扣【415两数相加】可以检验自己代码，实现代码为：

public String addStrings(String num1, String num2) { 
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    int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1; 
    char ch1[]=num1.toCharArray(); 
    char ch2[]=num2.toCharArray(); 
 
    StringBuilder sb=new StringBuilder(); 
    int remainder =0;//计算余数 
    while (len1>=0||len2>=0) 
    { 
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0; 
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0; 
        int num=n1+n2+remainder;//求和对应数字 
        remainder=num/10;//是否进位 
        sb.append(num%10);// 添加到结果字符串中 
    } 
 
    if(remainder>0)//是否还需要进位 
    { 
        sb.append(remainder); 
    } 
    //反装即为结果 
    return sb.reverse().toString(); 
} 

大数减法

加法对应的就是减法，有了上面大数加法的实现思路，那么我想你在大数减法也应该有点想法，但是减法和加法不同的是减法有位置的区别，加法需要进位而减法需要借位。并且大整正数减法可能产生正负也不一定。

两个正数，如果大数减去小数，那么一切正常，结果是一个正数;但如果小数减去大数，那么结果将是一个负数，并且结果处理起来比较麻烦。所以在这里全部转成大-小处理(大-小不存在不能借位的情况)。

减法转成大-小

执行计算前首先比较减数(num1)和被减数(num2)的大小，如果num1>num2,那么就模拟num1-num2的过程，如果num1

在比较两个数字大小的时候，因为是字符形式，首先比较两个字符串的长度，长的那个更大短的那个更小，如果两个字符串等大，那么就可以通过字典序从前往后进行比较(Java可直接使用compareTo方法)。

和加法不同的是，减法前面可能产生若干前缀0，这些0是需要你去掉的，例如"1100"-"1000"计算得到的结果为"0100",你就要把前面的0去掉返回"100"。

具体实现的时候和加法相似，如果使用StringBuilder存储，需要逆置顺序，如果是个负数，前面还要加上'-'.

每个位置正常进行减法运算，如果值小于0，那么就需要向上借位(+10),那么处理上一位进行减法时候还要将借位的处理一下。

一个减法大概流程

这题在力扣上没有原题，但是可以在小米OJ【大数相减】上验证自己代码的正确性，具体实现的代码为：

public static boolean compare(String num1,String num2) 
{ 
    if(num1.length()
        return  false; 
    else if(num1.length()>num2.length()) 
        return true; 
    else 
        return num1.compareTo(num2)>0; 
} 
public static  String subtractString(String num1,String num2) { 
    char sign='+';//正负号 
    //让num1>num2 如果num1
    //可以先将num1和num2交换和前面情况统一 
    if(!compare(num1,num2)) 
    { 
        sign='-'; 
        String team = num2; 
        num2 = num1; 
        num1 = team; 
    } 
    int len1=num1.length()-1; 
    int len2=num2.length()-1; 
 
    char ch1[] = num1.toCharArray(); 
    char ch2[] = num2.toCharArray(); 
    StringBuilder sb=new StringBuilder(); 
    int borrow=0;//借位 
    while (len1>=0||len2>=0) 
    { 
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0; 
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0; 
 
        int num=n1-n2-borrow; 
        borrow=0; 
        if(num<0)//需要向前借位 
        { 
            borrow=1; 
            num+=10; 
        } 
        sb.append(num); 
    } 
 
    sb=sb.reverse();//需要先翻转 
    int index = 0;//去掉前面没用的’0‘ 
    while (indexindex) == '0') 
    { 
        index++; 
    } 
    //如果两个数相同 直接返回"0" 
    if(index==sb.length()) 
        return "0"; 
    if(sign=='+')//如果正数  
        return  sb.substring(index); 
    else  return sign+sb.substring(index);//负数需要返回 
} 

大数乘法

大数乘法乍一想可能比较复杂，因为乘法比起加法可能进位不光是1，还有两个数各种位置都需要相乘计算，这时候就需要我们化繁为简了。

多*多考虑起来可能有些麻烦，但是如果多*一考虑起来呢?如果是多位乘以一位数，那么就拿一位的分别乘以多位数的个位、十位、百位，在计算的同时考虑一下进位的情况。

但是也可以先直接用int类型数组存储各位的乘积然后从右向左进行进位，如下图所示。

先计算后进位

而多*多 也是这个道理，将不同位乘积先叠加到对应位置上，然后从右向左进位，一直到不需要进位为止。

一个乘法流程

你可能会疑问，如果两个数组的长度分别为a和b这个数组到底该开多大呢?

• a+b大小就够了，怎么分析呢?其中一个a不变。另一个b变成最小b+1数字即十的倍数，那么这样在相乘的时候也不过是a+b长度，所以这里a+b长度就够了。

这题有力扣对应题可以去试试【43字符串相乘】，具体代码为：

public String multiply(String num1, String num2) { 
    if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0"; 
    char a[]=num1.toCharArray(); 
    char b[]=num2.toCharArray(); 
 
    int value[]=new int[a.length+b.length]; 
 
    for(int i=a.length-1;i>=0;i--) 
    { 
        for(int j=b.length-1;j>=0;j--) 
        { 
            int index=a.length-1-i+b.length-1-j; 
            value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0'); 
        } 
    } 
    for(int i=0;i
    { 
        value[i+1]+=value[i]/10; 
        value[i]=value[i]%10; 
    } 
    int index=value.length-1; 
    while(value[index]==0) 
    {index--;} 
    StringBuilder sBuilder=new StringBuilder(); 
    while (index>=0) { 
        sBuilder.append(value[index--]); 
    } 
    return sBuilder.toString(); 
} 

大数除法

大数加减乘都搞定了，通过模拟来实现，但是大数除法也通过模拟来实现?

并不是，对于大数a/b，一般最多要求求到其整数解或者余数，即a/b=c……d(a,b,c,d均为整);也就是a里面有c个b，并且还剩下d。核心是先求c是多少，对于程序来说，可以通过枚举啊，将除法变成减法，从a中不断减d，一直到不能减为止。

除法转成减法运算

但是有个问题，如果被除数a很大很大，可能有居多个b，那么这样时间复杂度太高了，不可能执行那么多次，那么需要怎么样去优化这个方法呢?

那就要加速寻找次数，减少这个减法的次数了，减法次数减小的一个最好方案就是能不能扩大除数b。如果b后面加个'0'，那么算出来的结果就乘以10，减法的次数变成原来十分之一。根据这个思想我们可以一直每次找到b的最大10的倍数(小于a)计算减的次数再换算成减b的总词数，将结果要以字符串方式保留，后面一直迭代到最后为止,这虽然是一道除法运算的题，但是也蕴含减法和加法(次数叠加到结果中)。

 

计算思想

当然，也有一些人使用二分法来压缩寻找可以被减的次数也是可以的(加法可以迭代数字实现二分倍数)，具体实现的话也不是很困难，但是代码量可能比较多所以一般的面试笔试不会让你现场写的，所以好好掌握前面的减法、减法、乘法的代码即可。

这部分代码我也简单给一下(其他函数上面贴过就不重复贴啦)：

//假设 num1>num2 
public static String divideString(String num1,String num2) 
{ 
    String value="0";//结果 
    while (compare(num1,num2)) 
    { 
        StringBuilder sbTeam=new StringBuilder(num2);//用这个往后面不断加0 和num做减法 
        StringBuilder sbCount=new StringBuilder("1");//次数 可能很大 
        int subLen=num1.length()-num2.length();//统计大概要加几个零  
        for(int i=0;i
        { 
            sbTeam.append('0'); 
            sbCount.append('0'); 
        } 
        //如果0 加多了 那么要删一个 类似"12300" / "23" "12300"比"23000"小 
        //所以要 "2300" 对应比"23"扩大 "100"倍数，每减一次"2300" 则结果加"100" 
        if(!compare(num1,sbTeam.toString())) 
        { 
            sbTeam=sbTeam.deleteCharAt(sbTeam.length()-1); 
            sbCount=sbCount.deleteCharAt(sbCount.length()-1); 
        } 
        // 一直能减的时候 
        while (compare(num1,sbTeam.toString())) 
        { 
            num1=subtractString(num1,sbTeam.toString()); 
            value=addStrings(sbCount.toString(),value); 
        } 
    } 
    return  value; 
} 

简单测试了下，正确性还是ok的：

除法测试

番外篇

除了上面直接的大数加减乘除，还有一些变形的题目需要我们特殊处理一下，比如可能会使用链表等存储处理，下面分享两道题。

两数相加(力扣02)

题目描述：

给你两个 非空 的链表，表示两个非负的整数。它们每位数字都是按照 逆序 的方式存储的，并且每个节点只能存储 一位 数字。请你将两个数相加，并以相同形式返回一个表示和的链表

你可以假设除了数字 0 之外，这两个数都不会以 0 开头。

提示：

• 每个链表中的节点数在范围 [1, 100] 内
• 0 <= Node.val <= 9
• 题目数据保证列表表示的数字不含前导零

本题其实就是用一个链表存储一个数字(逆序存储)，你需要给它计算出结果后在 逆序 存储到一个链表中返回。

所谓加法的运算规则：从两个数的最低位进行计算，进行到下一位的时候需要考虑进位问题。一直到最后，而本题所给的链表刚好可以用来直接计算，因为链表头都是数字最低位可以直接相加，然后一直遍历到结束。可以用一个常数表示进位。

运算逻辑

在具体实现(链表)的时候：

• 创建新的链表，每次将计算的数值插入到链表尾部即可。
• 需要准确表示进位，并且最后要考虑以下进位
• 妥善返回正确节点，可以用一个头节点用来使得所有节点都正常操作，而不需要特殊判断。

通过代码第一次比较啰嗦的写法：

当然，如果你遍历链表把各个数字取出来，使用字符串、数字转换然后相加得到一个数字，最后在转成字符串、链表的理论可以，可以自行实现。

优化后的代码为：

//更简洁的写法 
ublic ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) { 
 ListNode node=new ListNode(0); 
 ListNode team=node; 
 int jin=0;//进位 
 while(l1!=null||l2!=null) 
 { 
   int num=jin; 
   if(l1!=null) 
   { 
     num+=l1.val;l1=l1.next; 
   } 
   if(l2!=null) 
   { 
     num+=l2.val;l2=l2.next; 
   } 
   jin=num/10; 
   num%=10; 
   team.next=new ListNode(num); 
   team=team.next; 
 
 } 
 if(jin!=0)team.next=new ListNode(jin); 
 return node.next; 

两数相加2(力扣445)

题目描述：

给你两个 非空 链表来代表两个非负整数。数字最高位位于链表开始位置。它们的每个节点只存储一位数字。将这两数相加会返回一个新的链表。

你可以假设除了数字 0 之外，这两个数字都不会以零开头。

进阶：如果输入链表不能修改该如何处理?换句话说，你不能对列表中的节点进行翻转。

示例：

输入：(7 -> 2 -> 4 -> 3) + (5 -> 6 -> 4)

输出：7 -> 8 -> 0 -> 7

本题的话和上面不一样链表不是逆置的，但是加法运算其实需要从最后面对齐开始，也就是理论上应该从链表尾部开始向前，但是这是个单链表，这样运算的话时间复杂度太高，所以我们要用空间换时间：用栈来解决。

将链表的节点依次放到两个栈中，然后两个栈同时取数计算。但是待返回的是个链表，所以采取头插法即可(如果不头插最后反转也可)，具体流程可以参考如下图：

逻辑

实现代码为：

//更简洁的写法 
ublic ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) { 
 ListNode node=new ListNode(0); 
 ListNode team=node; 
 int jin=0;//进位 
 while(l1!=null||l2!=null) 
 { 
   int num=jin; 
   if(l1!=null) 
   { 
     num+=l1.val;l1=l1.next; 
   } 
   if(l2!=null) 
   { 
     num+=l2.val;l2=l2.next; 
   } 
   jin=num/10; 
   num%=10; 
   team.next=new ListNode(num); 
   team=team.next; 
 
 } 
 if(jin!=0)team.next=new ListNode(jin); 
 return node.next; 

结语

 

到这里，大数的加减乘除基本都讲解完啦，不知道你有没有收获，因为这里的大数都是用字符串的方式存储和处理，遇到的最多，但是也可能遇到一些链表、数组等其他形式存储的需要处理，但是整体的思想都是一样的。