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一、理论基础
广义回归神经网络（Generalized Regression Neural Network，简称GRNN）是一种具有较好的非线性逼近能力的四层前向传播神经网络，它属于径向基神经网络的一种变形形式，数据输入网络后依次经过输入层、模式层、求和层、输出层后得到输出结果，与反向传播神经网络（BPNN）不通的是该网络没有训练过程，主要通过对模式层的平滑因子进行优化来获得好的输出结果。
反向传播神经网络（BPNN）原理参考：
反向传播神经网络（BPNN）的实现（Python，附源码及数据集）
1、广义回归神经网络结构
广义回归神经网络的结构图如下图所示：
2、输入层
这一层主要实现数据的输入过程，并将输入数据传递至模式层，该层的节点数为输入数据的特征维度。
3、模式层
一般使用高斯函数对输入数据进行处理，节点数为训练样本的个数，具体的计算公式如下：
其中x_i为训练样本，x_j为学习样本，σ为平滑因子，
4、求和层
假设输出样本维度为k，则该层节点数为k+1，其中一个节点输出S_D为模式层输出的算术和，其余节点输出S_Ni均为模式层输出的加权和，具体的计算公式如下：
其中ω_ij为加权系数。
5、输出层
该层节点数为输出样本维度，主要根据求和层求出的算术和与加权和进行计算输出，计算公式如下：
6、优化思路
虽然GRNN无需进行网络训练，但模式层的平滑因子σ对网络的性能影响较大，平滑因子过大或过小会分别导致网络出现欠拟合与过拟合的现象，而在实验中通常难以将平滑因子设定至较优的数值，因此若想获得较好的网络性能，一般选用高效的智能优化算法对平滑因子进行寻优。
常见的智能优化算法介绍
二、广义回归神经网络的实现
以数据预测为例，下面介绍基于Python实现径向基神经网络的过程。
选用某省市的表层土壤重金属元素数据集作为实验数据，该数据集总共96组，随机选择其中的24组作为测试数据集，72组作为训练数据集。选取重金属Ti的含量作为待预测的输出特征，选取重金属Co、Cr、Mg、Pb作为模型的输入特征。
1、实现过程（GRNN.py）
#库的导入import numpy as npimport pandas as pd#输入层#读取训练数据print('------------------------1. Load train data------------------------')df = pd.read_csv("train.csv")df.columns = ["Co", "Cr", "Mg", "Pb", "Ti"]Co = df["Co"]Co = np.array(Co)Cr = df["Cr"]Cr = np.array(Cr)Mg=df["Mg"]Mg=np.array(Mg)Pb = df["Pb"]Pb =np.array(Pb)Ti = df["Ti"]Ti = np.array(Ti)inputX = np.mat([Co,Cr,Mg,Pb])inputX = inputX.transpose()inputY = np.mat(Ti)inputY = inputY.transpose()#读取测试数据print('------------------------2. Load test data-------------------------')df = pd.read_csv("test.csv")df = pd.read_csv("test.csv")df.columns = ["Co", "Cr", "Mg", "Pb", "Ti"]Co = df["Co"]Co = np.array(Co)Cr = df["Cr"]Cr = np.array(Cr)Mg=df["Mg"]Mg=np.array(Mg)Pb = df["Pb"]Pb =np.array(Pb)Ti = df["Ti"]Ti = np.array(Ti)testX = np.mat([Co,Cr,Mg,Pb])testX = testX.transpose()testY = Ti#模式层#计算样本欧式距离print('----------------3. Calculate euclidean distance-------------------')m, n = np.shape(inputX)p = np.shape(testX)[0]distance = np.mat(np.zeros((p, m)))for i in range(p): for j in range(m): distance[i,j] = np.linalg.norm(testX[i,:]-inputX[j,:])#计算高斯矩阵print('------------------4. Calculate gaussian matrix--------------------')sigma = 2 #平滑因子Gauss = np.mat(np.zeros((p,m)))for i in range(p): for j in range(m): Gauss[i,j] = np.exp(- distance[i,j] / (2 * (sigma ** 2)))#求和层print('----------------------5. Output of sum Layer----------------------')n = np.shape(inputY)[1]sum_mat = np.mat(np.zeros((p,n+1)))#计算算术和for i in range(p): sum_mat[i, 0] = np.sum(Gauss[i, :], axis=1)#计算加权和for i in range(p): for j in range(n): total = 0.0 for s in range(m): total += Gauss[i,s] * inputY[s,j] sum_mat[i,j+1] = total#输出层print('--------------------6. Output of output Layer---------------------')#计算预测值predict = np.mat(np.zeros((p,n)))for i in range(n): predict[:,i] = sum_mat[:,i+1] / sum_mat[:,0]predict = predict.transpose()predict = np.array(predict)output1=predict.flatten()#降成一维数组predict=output1.tolist()#预测效果评估print('----------------7. Forecasting effect evaluation------------------')#预测差值errerr = predict - testY#MAE等评价指标的计算mae = np.sum(np.abs(predict-testY))/paverage_loss1=np.sum(np.abs((predict-testY)/testY))/pmape="%.2f%%"%(average_loss1*100)f1 = 0for m in range(p): f1 = f1 + np.abs(testY[m]-predict[m])/((np.abs(testY[m])+np.abs(predict[m]))/2)f2 = f1 / psmape="%.2f%%"%(f2*100)#计算预测值与真实值误差与真实值之比的分布A=0B=0C=0D=0E=0for m in range(p): y1 = np.abs(testY[m]-predict[m])/np.abs(testY[m]) if y1 <= 0.1: A = A + 1 elif y1 > 0.1 and y1 <= 0.2: B = B + 1 elif y1 > 0.2 and y1 <= 0.3: C = C + 1 elif y1 > 0.3 and y1 <= 0.4: D = D + 1 else: E = E + 1print("The distribution of the predicted difference ratio in different intervals is as follows:")print("Ratio <= 0.1 :",A)print("0.1< Ratio <= 0.2 :",B)print("0.2< Ratio <= 0.3 :",C)print("0.3< Ratio <= 0.4 :",D)print("Ratio > 0.4 :",E)print("The different error index values are as follows：")print("the MAE is :",mae)print("the MAPE is :",mape)print("the SMAPE is :",smape)#保存误差和真实值np.save("GRNN-err.npy",err)np.save("GRNN-output.npy",predict)print("The prediction value and real value comparison figure has been generated ！")2、预测结果
注：广义回归神经网络中参数主要是平滑因子，因此当设置不同取值的平滑因子时预测效果会存在一定差别。
3、参考源码及实验数据集
来源地址：https://blog.csdn.net/weixin_42051846/article/details/128765413
