第十四届蓝桥杯省赛 Python B 组 D 题——管道（AC）

目录

• 1. 管道
• • 1. 问题描述
  • 2. 输入格式
  • 3. 输出格式
  • 4. 样例输入
  • 5. 样例输出
  • 6. 评测用例规模与约定
• 2. 解题思路
• 3. AC_Code

1. 管道

1. 问题描述

有一根长度为 $\text{len}$ 的横向的管道，该管道按照单位长度分为 $\text{len}$ 段，每一段的中央有一个可开关的阀门和一个检测水流的传感器。

一开始管道是空的，位于 $L_i$ 的阀门会在 $S_i$ 时刻打开，并不断让水流入管道。

对于位于 $L_i$ 的阀门，它流入的水在 $T_i$ ($T_i\ge S_i$) 时刻会使得从第 $L_i-(T_i-S_i)$ 段到第 $L_i+(T_i-S_i)$ 段的传感器检测到水流。

求管道中每一段中间的传感器都检测到有水流的最早时间。

2. 输入格式

输入的第一行包含两个整数 $n,\text{len}$，用一个空格分隔，分别表示会打开的阀门数和管道长度。

接下来 $n$ 行每行包含两个整数 $L_i,S_i$，用一个空格分隔，表示位于第 $L_i$ 段管道中央的阀门会在 $S_i$ 时刻打开。

3. 输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

4. 样例输入

3 101 16 510 2

5. 样例输出

5

6. 评测用例规模与约定

对于 $30$% 的评测用例，$n\le 200$，$S_i,\text{len}\le 3000$；

对于 $70$% 的评测用例，$n\le 5000$，$S_i,\text{len}\le 10^5$；

对于所有评测用例，$1\le n\le 10^5$，$1\le S_i,\text{len}\le 10^9$，$1\le L_i\le \text{len}$，$L_{i-1}<L_i$。

2. 解题思路

对于一个时间点 $x$，如果此时所有传感器都能检测到水流，那么当时间点大于 $x$ 时也一定保证所有传感器都能检测到水流。题目要求我们找到满足条件的最小时间点，因为答案具有二段性，所以我们可以想到二分答案。

有了二分的思路后，问题转换为对于一个确定的时间点 $x$，我们如何判断此时所有传感器都能检测到水流？仔细思考，当时间确定后，对于一个位于 $a_i$ 且开启时间为 $S_i(S_i\le x)$ 的阀门，它的水流实际就是一条覆盖区间 $[a_i-(x-S_i),a_i+(x-S_i)]$ 的线段。

我们可以将所有 $S_i\le x$ 的阀门都进行转换，实际上得到的就是若干条线段。判断所有传感器是否都能检测到水流，等价于判断能否用这若干条线段覆盖区间 $[1,\text{len}]$，问题接着转换为区间覆盖问题。

区间覆盖是一个经典问题。我们可以按区间的左端点来排序这些区间。接下来，我们检查这些区间是否覆盖了整个管道。如果第一个区间的左端点大于 $1$，那么表示管道的开始部分没有被覆盖，直接返回 false。否则我们设一个变量 $r$ 表示可到达的最远距离，$r$ 的初始值为第一个区间的右端点。我们接着检查其他区间是否与 $r$ 相邻或重叠。如果当前区间和 $r$ 相邻或重叠，我们将当前区间的右端点和 $r$ 取最大值。最后如果 $r\ge \text{len}$ 则说明成功覆盖所有区间，否则说明没有。

回过头来考虑如何书写二分，设 $l$ 为答案的下界，$r$ 为答案的上界，如果二分得到的时间点 $\text{mid}$ 符合条件，因为大于 $\text{mid}$ 的时间点也一定符合条件，所以更新 $r=\text{mid}$，否则更新 $l=\text{mid+1}$。我们重复这个过程，直到搜索范围的左右端点相等，此时就找到了最早的时间。 当然 $l,r$ 的初始值我们也需要思考，$l$ 显然为 $1$，而 $r$ 我们需要考虑极限情况，即只存在一个最左或最右的阀门在最晚的时间点打开，显然此时需要的时间为 $2\times 10^9$，所以 $r$ 的初始值为 $2\times 10^9$。

时间复杂度：$O(n\log n^2)$。

3. AC_Code

• C++

#includeusing namespace std;typedef long long LL;#define sz(s) ((int)s.size())int n, m;int main(){ios_base :: sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);cin >> n >> m;vector<int> a(n), s(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {cin >> a[i] >> s[i];}auto check = [&](LL t) {std::vector<pair<LL, LL>> v;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (t >= s[i]) v.push_back({a[i] - (t - s[i]), a[i] + (t - s[i])});}sort(v.begin(), v.end());if (sz(v) == 0 || v[0].first > 1) return false;LL r = v[0].second;for (int i = 1; i < sz(v); ++i) {if (v[i].first <= r + 1) r = max(r, v[i].second);else break;}return r >= m;};LL l = 1, r = 2e9;while (l < r) {LL mid = l + r >> 1;if (check(mid)) r = mid;else l = mid + 1;}cout << r << '\n';return 0;}

• Java

import java.util.*;public class Main {    static int n, m;    public static void main(String[] args) {        Scanner sc = new Scanner(System.in);        n = sc.nextInt();        m = sc.nextInt();        int[] a = new int[n];        int[] s = new int[n];        for (int i = 0; i < n; ++i) {            a[i] = sc.nextInt();            s[i] = sc.nextInt();        }        long l = 1, r = 2_000_000_000;        while (l < r) {            long mid = l + r >>> 1;            if (check(mid, a, s)) r = mid;            else l = mid + 1;        }        System.out.println(r);    }    private static boolean check(long t, int[] a, int[] s) {        List<Pair<Long, Long>> v = new ArrayList<>();        for (int i = 0; i < n; ++i) {            if (t >= s[i]) {                v.add(new Pair<>(a[i] - (t - s[i]), a[i] + (t - s[i])));            }        }        v.sort(Comparator.comparingLong(Pair::getKey));        if (v.size() == 0 || v.get(0).getKey() > 1) return false;        long r = v.get(0).getValue();        for (int i = 1; i < v.size(); ++i) {            if (v.get(i).getKey() <= r + 1) r = Math.max(r, v.get(i).getValue());            else break;        }        return r >= m;    }    static class Pair<K, V> {        private final K key;        private final V value;        public Pair(K key, V value) {            this.key = key;            this.value = value;        }        public K getKey() {            return key;        }        public V getValue() {            return value;        }    }}

• Python

n, m = map(int, input().split())a = []s = []for i in range(n):    a_i, s_i = map(int, input().split())    a.append(a_i)    s.append(s_i)def check(t):    v = []    for i in range(n):        if t >= s[i]:            v.append((a[i] - (t - s[i]), a[i] + (t - s[i])))    v.sort()    if len(v) == 0 or v[0][0] > 1:        return False    r = v[0][1]    for i in range(1, len(v)):        if v[i][0] <= r + 1:            r = max(r, v[i][1])        else:            break    return r >= ml = 1r = 2_000_000_000while l < r:    mid = (l + r) // 2    if check(mid):        r = mid    else:        l = mid + 1print(r)

来源地址：https://blog.csdn.net/m0_57487901/article/details/132741203