1 背景
数字运算在数据库中是很常见的需求, 例如计算数量、重量、价格等, 为了满足各种需求, 数据库系统通常支持精准的数字类型和近似的数字类型. 精准的数字类型包含 int, decimal 等, 这些类型在计算过程中小数点位置是固定的, 其结果和行为比较可预测. 当涉及钱时, 这个问题尤其重要, 因此部分数据库实现了专门的 money 类型. 近似的数字类型包含 float, double 等, 这些数字的精度是浮动的.
本文将简要介绍 decimal 类型的数据结构和计算, 对比 decimal 在 MySQL, ClickHouse 两个不同类型系统中的实现差异, 描述实现 decimal 运算的主要思路. MySQL 在结果的长度比较接近上限的情况下, 会有比较违反直觉的地方, 本文会在最后列出这些可能需要注意的问题.
2 Decimal类型的使用
decimal 的使用在多数数据库上都差不多, 下面以 MySQL 的 decimal 为例, 介绍 decimal 的基本使用方法.
2.1 描述Decimal
与 float 和 double 不同, decimal 在创建时需要指定两个描述精度的数字, 分别是 precision 和 scale, precision 指整个 decimal 包括整数和小数部分一共有多少个数字, scale 指 decimal 的小数部分包含多少个数字, 例如：123.45 就是一个 precision=5, scale=2 的 decimal. 我们可以在建表时按照这种方式定义我们想要的 decimal.
2.2 建表时定义Decimal
可以在建表时这样定义一个 decimal:
create table t(d decimal(5, 2));2.3 写入decimal数据
可以向其中插入合法的数据, 例如
insert into t values(123.45);
insert into t values(123.4);此时执行 select * from t 会得到
+--------+
| d |
+--------+
| 123.45 |
| 123.40 |
+--------+注意到 123.4 变成了 123.40, 这就是精确类型的特点, d 列的每行数据都要求 scale=2, 即小数点后有两位
当插入不满足 precision 和 scale 定义的数据时
insert into t values(1123.45);
ERROR 1264 (22003): Out of range value for column 'd' at row 1
insert into t values(123.456);
Query OK, 1 row affected, 1 warning
show warnings;
+-------+------+----------------------------------------+
| Level | Code | Message |
+-------+------+----------------------------------------+
| Note | 1265 | Data truncated for column 'd' at row 1 |
+-------+------+----------------------------------------+
select * from t;
+--------+
| d |
+--------+
| 123.46 |
+--------+类似 1234.5 (precision=5, scale=1)这样的数字看起来满足要求, 但实际上需要满足 scale=2 的要求, 因此会变成 1234.50(precision=6, scale=2) 也不满足要求.
2.4 取出deimcal进行计算
计算的结果不受定义的限制, 而是受到内部实现格式的影响, 对于 MySQL 结果最大可以到 precision=81, scale=30, 但是由于 MySQL decimal 的内存格式和计算函数实现问题, 这个大小不是在所有情况都能达到, 将在后文中详细介绍. 继续上面的例子中：
select d + 9999.999 from t;
+--------------+
| d + 9999.999 |
+--------------+
| 10123.459 |
+--------------+结果突破了 precision=5, scale=2 的限制, 这里涉及运算时 scale 的变化, 基本规则是：
- 加法/减法/sum：取两边最大的 scale
- 乘法：两边的 scale 相加
- 除法：被除数的 scale + div_precision_increment(取决于数据库实现)
3 Decimal类型的实现
在这一部分中, 我们主要介绍 MySQL 的 decimal 实现, 此外也会对比 ClickHouse, 看看 decimal 在不同系统中的设计与实现差异.
实现 decimal 需要思考以下问题
- 支持多大的 precision 和 scale
- 在哪里存储 scale
- 在连续乘法或除法时, scale 不断增长, 整数部分也不断扩大, 而存储的 buffer 大小总是有上限的, 此时应该如何处理？
- 除法可能产生无限小数, 如何决定除法结果的 scale?
- decimal 的表示范围和计算性能是否有冲突, 是否可以兼顾
3.1 MySQL
先来看看 MySQL decimal 相关的数据结构
typedef int32 decimal_digit_t;
struct decimal_t {
int intg, frac, len;
bool sign;
decimal_digit_t *buf;
};MySQL 的 decimal 使用一个长度为 len 的 decimal_digit_t (int32) 的数组 buf 来存储 decimal 的数字, 每个 decimal_digit_t 最多存储 9 个数字, 用 intg 表示整数部分的数字个数, frac 表示小数部分的数字个数, sign 表示符号. 小数部分和整数部分需要分开存储, 不能混合在一个 decimal_digit_t 中, 两部分都向小数点对齐, 这是因为整数和小数通常需要分开计算, 所以这样的格式可以更容易地将不同 decimal_t 小数和整数分别对齐, 便于加减法运算. len 在 MySQL 实现中恒为 9, 它表示存储的上限, 而 buf 实际有效的部分, 则是由 intg 和 frac 共同决定. 例如：
// 123.45 decimal(5, 2) 整数部分为 3, 小数部分为 2
decimal_t dec_123_45 = {
int intg = 3;
int frac = 2;
int len = 9;
bool sign = false;
decimal_digit_t *buf = {123, 450000000, ...};
};MySQL 需要使用两个 decimal_digit_t (int32) 来存储 123.45, 其中第一个为 123, 结合 intg=3, 它就表示整数部分为 123, 第二个数字为 450000000 (共 9 个数字), 由于 frac=2, 它表示小数部分为 .45
再来看一个大一点的例子：
// decimal(81, 18) 63 个整数数字, 18 个小数数字, 用满整个 buffer
// 123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123.012345678901234567
decimal_t dec_81_digit = {
int intg = 63;
int frac = 18;
int len = 9;
bool sign = false;
buf = {123456789, 12345678, 901234567, 890123456, 789012345, 678901234, 567890123, 12345678, 901234567}
};这个例子用满了 81 个数字, 但是也有些场景无法用满 81 个数字, 这是因为整数和小数部分是分开存储的, 所以一个 decimal_digit_t (int32) 可能只存储了一个有效的小数数字, 但是其余的部分没有办法给整数部分使用, 例如一个 decimal 整数部分有 62 个数字, 小数部分有 19 个数字(precision=81, scale=19), 那么小数部分需要使用 3 个 decimal_digit_t (int32), 整数部分还有 54 个数字的余量, 无法存下 62 个数字. 这种情况下, MySQL 会优先满足整数部分的需求, 自动截断小数点后的部分, 将它变成 decimal(80, 18)
接下来看看 MySQL 如何在这个数据结构上进行运算. MySQL 通过一系列 decimal_digit_t(int32) 来表示一个较大的 decimal, 其计算也是对这个数组中的各个 decimal_digit_t 分别进行, 如同我们在小学数学计算时是一个数字一个数字地计算, MySQL 会把每个 decimal_digit_t 当作一个数字来进行计算、进位. 由于代码较长, 这里不再对具体的代码进行完整的分析, 仅对代码中核心部分进行分析, 如果感兴趣, 可以直接参考 MySQL 源码 strings/decimal.h 和 strings/decimal.cc 中的 decimal_add, decimal_mul, decimal_div 等代码.
准备步骤
在真正计算前, 还需要做一些准备工作：
- MySQL 会将数字的个数 ROUND_UP 到 9 的整数倍, 这样后面就可以按照 decimal_digit_t 为单位来进行计算
- 此外还要针对参与运算的两个 decimal 的具体情况, 计算结果的 precision 和 scale, 如果发现结果的 precision 超过了支持的上限, 那么会按照 decimal_digit_t 为单位减少小数的数字.
- 在乘法过程中, 如果发生了 2 中的减少行为, 则需要 TRUNCATE 两个运算数, 避免中间结果超出范围.
加法主要步骤
首先, 因为两个数字的 precision 和 scale 可能不相同, 需要做一些准备工作, 将小数点对齐, 然后开始计算, 从最末尾小数开始向高位加, 分为三个步骤：
- 将小数较多的 decimal 多出的小数数字复制到结果中
- 将两个 decimal 公共的部分相加
- 将整数较多的 decimal 多出的整数数字与进位相加到结果中
代码中使用了 stop, stop2 来标记小数点对齐后, 长度不同的数字出现差异的位置.
while (buf1 > stop) *--buf0 = *--buf1;
carry = 0;
while (buf1 > stop2) {
ADD(*--buf0, *--buf1, *--buf2, carry);
}
buf1 = intg1 > intg2 ? ((stop3 = from1->buf) + intg1 - intg2)
: ((stop3 = from2->buf) + intg2 - intg1);
while (buf1 > stop3) {
ADD(*--buf0, *--buf1, 0, carry);
}
乘法主要步骤
乘法引入了一个新的 dec2, 表示一个 64 bit 的数字, 这是因为两个 decimal_digit_t(int32) 相乘后得到的可能会是一个 64 bit 的数字. 在计算时一定要先把类型转换到 dec2(int64), 再计算, 否则会得到溢出后的错误结果. 乘法与加法不同, 乘法不需要对齐, 例如计算 11.11 5.0, 那么只要计算 111150=55550, 再移动小数点位置就能得到正确结果 55.550
MySQL 实现了一个双重循环将 decimal1 的 每一个 decimal_digit_t 与 decimal2 的每一个 decimal_digit_t 相乘, 得到一个 64 位的 dec2, 其低 32 位是当前的结果, 其高 32 位是进位.
typedef decimal_digit_t dec1;
typedef longlong dec2;
for (buf1 += frac1 - 1; buf1 >= stop1; buf1--, start0--) {
carry = 0;
for (buf0 = start0, buf2 = start2; buf2 >= stop2; buf2--, buf0--) {
dec1 hi, lo;
dec2 p = ((dec2)*buf1) * ((dec2)*buf2);
hi = (dec1)(p / DIG_BASE);
lo = (dec1)(p - ((dec2)hi) * DIG_BASE);
ADD2(*buf0, *buf0, lo, carry);
carry += hi;
}
if (carry) {
if (buf0 < to->buf) return E_DEC_OVERFLOW;
ADD2(*buf0, *buf0, 0, carry);
}
for (buf0--; carry; buf0--) {
if (buf0 < to->buf) return E_DEC_OVERFLOW;
ADD(*buf0, *buf0, 0, carry);
}
}除法主要步骤
除法使用的是 Knuth's Algorithm D, 其基本思路和手动除法也比较类似.
首先使用除数的前两个 decimal_digit_t 组成一个试商因数, 这里使用了一个 norm_factor 来保证数字在不溢出的情况下尽可能扩大, 这是因为 decimal 为了保证精度必须使用整形来进行计算, 数字越大, 得到的结果就越准确. D3: 猜商, 就是用被除数的前两个 decimal_digit_t 除以试商因数 这里如果不乘 norm_factor, 则 start1[1] 和 start2[1] 都不会体现在结果之中.
D4: 将 guess 与除数相乘, 再从被除数中剪掉结果 然后做一些修正, 移动向下一个 decimal_digit_t, 重复这个过程.
想更详细地了解这个算法可以参考 https://skanthak.homepage.t-online.de/division.html
norm2 = (dec1)(norm_factor * start2[0]);
if (likely(len2 > 0)) norm2 += (dec1)(norm_factor * start2[1] / DIG_BASE)；
x = start1[0] + ((dec2)dcarry) * DIG_BASE;
y = start1[1];
guess = (norm_factor * x + norm_factor * y / DIG_BASE) / norm2;
for (carry = 0; buf2 > start2; buf1--) {
dec1 hi, lo;
x = guess * (*--buf2);
hi = (dec1)(x / DIG_BASE);
lo = (dec1)(x - ((dec2)hi) * DIG_BASE);
SUB2(*buf1, *buf1, lo, carry);
carry += hi;
}
carry = dcarry < carry;3.2 ClickHouse
ClickHouse 是列存, 相同列的数据会放在一起, 因此计算时通常也将一列的数据合成 batch 一起计算.
一列的 batch 在 ClickHouse 中使用 PODArray, 例如上图中的 c1 在计算时就会有一个 PODArray, 进行简化后大致可以表示如下:
class PODArray {
char * c_start = null;
char * c_end = null;
char * c_end_of_storage = null;
}在计算时会讲 c_start 指向的数组转换成实际的类型, 对于 decimal, ClickHouse 使用足够大的 int 来表示, 根据 decimal 的 precision 选择 int32, int64 或者 int128. 例如一个 decimal(10, 2), 123.45, 使用这样方式可以表示为一个 int32_t, 其内容为 12345, decimal(10, 3) 的 123.450 表示为 123450. ClickHouse 用来表示每个 decimal 的结构如下, 实际上就是足够大的 int：
template <typename T>
struct Decimal
{
using NativeType = T;
// ...
T value;
};
using Int32 = int32_t;
using Int64 = int64_t;
using Int128 = __int128;
using Decimal32 = Decimal<Int32>;
using Decimal64 = Decimal<Int64>;
using Decimal128 = Decimal<Int128>;显而易见, 这样的表示方法相较于 MySQL 的方法更轻量, 但是范围更小, 同时也带来了一个问题是没有小数点的位置, 在进行加减法、大小比较等需要小数点对齐的场景下, ClickHouse 会在运算实际发生的时候将 scale 以参数的形式传入, 此时配合上面的数字就可以正确地还原出真实的 decimal 值了.
ResultDataType type = decimalResultType(left, right, is_multiply, is_division);
int scale_a = type.scaleFactorFor(left, is_multiply);
int scale_b = type.scaleFactorFor(right, is_multiply || is_division);
OpImpl::vector_vector(col_left->getData(), col_right->getData(), vec_res,
scale_a, scale_b, check_decimal_overflow);例如两个 decimal: a = 123.45000(p=8, s=5), b = 123.4(p=4, s=1), 那么计算时传入的参数就是 col_left->getData() = 123.45000 10 ^ 5 = 12345000, scale_a = 1, col_right->getData() = 123.4 10 ^ 1 = 1234, scale_b = 10000, 12345000 1 和 1234 10000 的小数点位置是对齐的, 可以直接计算.
加法主要步骤
ClickHouse 实现加法同样要先对齐, 对齐的方法是将 scale 较小的数字乘上一个系数, 使两边的 scale 相等. 然后直接做加法即可. ClickHouse 在计算中也根据 decimal 的 precision 进行了细分, 对于长度没那么长的 decimal, 直接用 int32, int64 等原生类型计算就可以了, 这样大大提升了速度.
bool overflow = false;
if constexpr (scale_left)
overflow |= common::mulOverflow(a, scale, a);
else
overflow |= common::mulOverflow(b, scale, b);
overflow |= Op::template apply<NativeResultType>(a, b, res);
template <typename T>
inline bool addOverflow(T x, T y, T & res)
{
return __builtin_add_overflow(x, y, &res);
}
template <>
inline bool addOverflow(__int128 x, __int128 y, __int128 & res)
{
static constexpr __int128 min_int128 = __int128(0x8000000000000000ll) << 64;
static constexpr __int128 max_int128 = (__int128(0x7fffffffffffffffll) << 64) + 0xffffffffffffffffll;
res = x + y;
return (y > 0 && x > max_int128 - y) || (y < 0 && x < min_int128 - y);
}乘法主要步骤
同 MySQL, 乘法不需要对齐, 直接按整数相乘就可以了, 比较短的 decimal 同样可以使用 int32, int64 原生类型. int128 在溢出检测时被转换成 unsigned int128 避免溢出时的未定义行为.
template <typename T>
inline bool mulOverflow(T x, T y, T & res)
{
return __builtin_mul_overflow(x, y, &res);
}
template <>
inline bool mulOverflow(__int128 x, __int128 y, __int128 & res)
{
res = static_cast<unsigned __int128>(x) * static_cast<unsigned __int128>(y); /// Avoid signed integer overflow.
if (!x || !y)
return false;
unsigned __int128 a = (x > 0) ? x : -x;
unsigned __int128 b = (y > 0) ? y : -y;
return (a * b) / b != a;
}除法主要步骤
先转换 scale 再直接做整数除法. 本身来讲除法和乘法一样是不需要对齐小数点的, 但是除法不一样的地方在于可能会产生无限小数, 所以一般数据库都会给结果一个固定的小数位数, ClickHouse 选择的小数位数是和被除数一样, 因此需要将 a 乘上 scale, 然后在除法运算的过程中, 这个 scale 被自然减去, 得到结果的小数位数就可以保持和被除数一样.
bool overflow = false;
if constexpr (!IsDecimalNumber<A>)
overflow |= common::mulOverflow(scale, scale, scale);
overflow |= common::mulOverflow(a, scale, a);
if (overflow)
throw Exception("Decimal math overflow", ErrorCodes::DECIMAL_OVERFLOW);
return Op::template apply<NativeResultType>(a, b);3.3 总结
MySQL 通过一个 int32 的数组来表示一个大数, ClickHouse 则是尽可能使用原生类型, GCC 和 Clang 都支持 int128 扩展, 这使得 ClickHouse 的这种做法可以比较方便地实现.
MySQL 与 ClickHouse 的实现差别还是比较大的, 针对我们开始提到的问题, 分别来看看他们的解答.
- precision 和 scale 范围, MySQL 最高可定义 precision=65, scale=30, 中间结果最多包含 81 个数字, ClickHouse 最高可定义 precision=38, scale=37, 中间结果最大为 int128 的最大值 -2^127 ~ 2^127-1.
- 在哪里存储 scale, MySQL 是行式存储, 使用火山模型逐行迭代, 计算也是按行进行, 每个 decimal 都有自己的 scale；ClickHouse 是列式存储, 计算按列批量进行, 每行按照相同的 scale 处理能提升性能, 因此 scale 来自表达式解析过程中推导出来的类型.
- scale 增长, scale 增长超过极限时, MySQL 会通过动态挤占小数空间, truncate 运算数, 尽可能保证计算完成, ClickHouse 会直接报溢出错.
- 除法 scale, MySQL 通过 div_prec_increment 来控制除法结果的 scale, ClickHouse 固定使用被除数的 scale.
- 性能, MySQL 使用了更宽的 decimal 表示, 同时要进行 ROUND_UP, 小数挤占, TRUNCATE 等动作, 性能较差, ClickHouse 使用原生的数据类型和计算最大限度地提升了性能.
4. MySQL 违反直觉的地方
在这一部分中, 我们将讲述一些 MySQL 实现造成的违反直觉的地方. 这些行为通常发生在运算结果接近 81 digit 时, 因此如果可以保证运算结果的范围较小也可以忽略这些问题.
- 乘法的 scale 会截断到 31, 且该截断是通过截断运算数字的方式来实现的, 例如: select 10000000000000000000000000000000.100000000 10000000000000000000000000000000 = 10000000000000000000000000000000.100000000000000000000000000000 10000000000000000000000000000000.555555555555555555555555555555 返回 1, 第二个运算数中的 .555555555555555555555555555555 全部被截断
- MySQL 使用的 buffer 包含了 81 个 digit 的容量, 但是由于小数部分必须和整数部分分开, 因此很多时候无法用满 81 个 digit, 例如: select 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999.999999 = 99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999.9 返回 1
- 计算过程中如果发现整数部分太大会动态地挤占小数部分, 例如: select 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999.999999999 + 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999.999999999 = 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 + 999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 返回 1
- 除法计算中间结果不受 scale = 31 的限制, 除法中间结果的 scale 一定是 9 的整数倍, 不能按照最终结果来推测除法作为中间结果的精度, 例如 select 2.0000 / 3 3 返回 2.00000000, 而 select 2.00000 / 3 3 返回 1.999999998, 可见前者除法的中间结果其实保留了更多的精度.
- 除法, avg 计算最终结果的小数部分如果正好是 9 的倍数, 则不会四舍五入, 例如: select 2.00000 / 3 返回 0.666666666, select 2.0000 / 3 返回 0.66666667
- 除法, avg 计算时, 运算数字的小数部分如果不是 9 的倍数, 那么会实际上存储 9 的倍数个小数数字, 因此会出现以下差异：
create table t1 (a decimal(20, 2), b decimal(20, 2), c integer);
insert into t1 values (100000.20, 1000000.10, 5);
insert into t1 values (200000.20, 2000000.10, 2);
insert into t1 values (300000.20, 3000000.10, 4);
insert into t1 values (400000.20, 4000000.10, 6);
insert into t1 values (500000.20, 5000000.10, 8);
insert into t1 values (600000.20, 6000000.10, 9);
insert into t1 values (700000.20, 7000000.10, 8);
insert into t1 values (800000.20, 8000000.10, 7);
insert into t1 values (900000.20, 9000000.10, 7);
insert into t1 values (1000000.20, 10000000.10, 2);
insert into t1 values (2000000.20, 20000000.10, 5);
insert into t1 values (3000000.20, 30000000.10, 2);
select sum(a+b), avg(c), sum(a+b) / avg(c) from t1;
+--------------+--------+-------------------+
| sum(a+b) | avg(c) | sum(a+b) / avg(c) |
+--------------+--------+-------------------+
| 115500003.60 | 5.4167 | 21323077.590317 |
+--------------+--------+-------------------+
1 row in set (0.01 sec)
select 115500003.60 / 5.4167;
+-----------------------+
| 115500003.60 / 5.4167 |
+-----------------------+
| 21322946.369561 |
+-----------------------+
1 row in set (0.00 sec)总结
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