在我们的生活中，大到天体观测、小到MP3播放器上的频谱，没有傅里叶变换都无法实现。
通俗来讲，离散傅里叶变换（DFT）就是把一串复杂波形中分成不同频率成分。
比如声音，如果用声波记录仪显示声音的话，其实生活中绝大部分声音都是非常复杂、甚至杂乱无章的。
而通过傅里叶变换，就能把这些杂乱的声波转化为正弦波，也就是我们平常看到的音乐频谱图的样子。
不过在实际计算中，这个过程其实非常复杂。
如果把声波视作一个连续函数，它可以唯一表示为一堆三角函数相叠加。不过在叠加过程中，每个三角函数的加权系数不同，有的要加高一些、有的要压低一些，有的甚至不加。
傅里叶变换要找到这些三角函数以及它们各自的权重。
这不就巧了，这种找啊找的过程，像极了神经网络。
神经网络的本质其实就是逼近一个函数。
那岂不是可以用训练神经网络的方式来搞定傅里叶变换？
这还真的可行，并且最近有人在网上发布了自己训练的过程和结果。
DFT=神经网络
该怎么训练神经网络呢？这位网友给出的思路是这样的：
首先要把离散傅里叶变换（DFT）看作是一个人工神经网络，这是一个单层网络，没有bias、没有激活函数，并且对于权重有特定的值。它输出节点的数量等于傅里叶变换计算后频率的数量。
具体方法如下：
这是一个DFT：
- k表示每N个样本的循环次数；
- N表示信号的长度；
- 表示信号在样本n处的值。
一个信号可以表示为所有正弦信号的和。
yk是一个复值，它给出了信号x中频率为k的正弦信号的信息；从yk我们可以计算正弦的振幅和相位。
换成矩阵式，它就变成了这样：
这里给出了特定值k的傅里叶值。
不过通常情况下，我们要计算全频谱，即k从[0,1,…N-1]的值，这可以用一个矩阵来表示（k按列递增，n按行递增）：
简化后得到：
看到这里应该还很熟悉，因为它是一个没有bias和激活函数的神经网络层。
指数矩阵包含权值，可以称之为复合傅里叶权值（Complex Fourier weights），通常情况下我们并不知道神经网络的权重，不过在这里可以。
- 不用复数
通常我们也不会在神经网络中使用复数，为了适应这种情况，就需要把矩阵的大小翻倍，使其左边部分包含实数，右边部分包含虚数。
将
带入DFT，可以得到：
然后用实部（cos形式）来表示矩阵的左半部分，用虚部（sin形式）来表示矩阵的右半部分：
简化后可以得到：
将
称为傅里叶权重；
需要注意的是，y^和y实际上包含相同的信息，但是y^
不使用复数，所以它的长度是y的两倍。
换句话说，我们可以用
或
表示振幅和相位，但是我们通常会使用
现在，就可以将傅里叶层加到网络中了。
用傅里叶权重计算傅里叶变换
现在就可以用神经网络来实现
，并用快速傅里叶变换（FFT）检查它是否正确。
- import matplotlib.pyplot as plt
- y_real = y[:, :signal_length]
- y_imag = y[:, signal_length:]
- tvals = np.arange(signal_length).reshape([-1, 1])
- freqs = np.arange(signal_length).reshape([1, -1])
- arg_vals = 2 * np.pi * tvals * freqs / signal_length
- sinusoids = (y_real * np.cos(arg_vals) - y_imag * np.sin(arg_vals)) / signal_length
- reconstructed_signal = np.sum(sinusoids, axis=1)
- print('rmse:', np.sqrt(np.mean((x - reconstructed_signal)**2)))
- plt.subplot(2, 1, 1)
- plt.plot(x[0,:])
- plt.title('Original signal')
- plt.subplot(2, 1, 2)
- plt.plot(reconstructed_signal)
- plt.title('Signal reconstructed from sinusoids after DFT')
- plt.tight_layout()
- plt.show()
- rmse: 2.3243522568191728e-15
得到的这个微小误差值可以证明，计算的结果是我们想要的。
- 另一种方法是重构信号：
- import matplotlib.pyplot as plt
- y_real = y[:, :signal_length]
- y_imag = y[:, signal_length:]
- tvals = np.arange(signal_length).reshape([-1, 1])
- freqs = np.arange(signal_length).reshape([1, -1])
- arg_vals = 2 * np.pi * tvals * freqs / signal_length
- sinusoids = (y_real * np.cos(arg_vals) - y_imag * np.sin(arg_vals)) / signal_length
- reconstructed_signal = np.sum(sinusoids, axis=1)
- print('rmse:', np.sqrt(np.mean((x - reconstructed_signal)**2)))
- plt.subplot(2, 1, 1)
- plt.plot(x[0,:])
- plt.title('Original signal')
- plt.subplot(2, 1, 2)
- plt.plot(reconstructed_signal)
- plt.title('Signal reconstructed from sinusoids after DFT')
- plt.tight_layout()
- plt.show()
- rmse: 2.3243522568191728e-15
最后可以看到，DFT后从正弦信号重建的信号和原始信号能够很好地重合。
通过梯度下降学习傅里叶变换
现在就到了让神经网络真正来学习的部分，这一步就不需要向之前那样预先计算权重值了。
首先，要用FFT来训练神经网络学习离散傅里叶变换：
- import tensorflow as tf
- signal_length = 32
- # Initialise weight vector to train:
- W_learned = tf.Variable(np.random.random([signal_length, 2 * signal_length]) - 0.5)
- # Expected weights, for comparison:
- W_expected = create_fourier_weights(signal_length)
- losses = []
- rmses = []
- for i in range(1000):
- # Generate a random signal each iteration:
- x = np.random.random([1, signal_length]) - 0.5
- # Compute the expected result using the FFT:
- fft = np.fft.fft(x)
- y_true = np.hstack([fft.real, fft.imag])
- with tf.GradientTape() as tape:
- y_pred = tf.matmul(x, W_learned)
- loss = tf.reduce_sum(tf.square(y_pred - y_true))
- # Train weights, via gradient descent:
- W_gradient = tape.gradient(loss, W_learned)
- W_learned = tf.Variable(W_learned - 0.1 * W_gradient)
- losses.append(loss)
- rmses.append(np.sqrt(np.mean((W_learned - W_expected)**2)))
- Final loss value 1.6738563548424711e-09
- Final weights' rmse value 3.1525832404710523e-06
得出结果如上，这证实了神经网络确实能够学习离散傅里叶变换。
训练网络学习DFT
除了用快速傅里叶变化的方法，还可以通过网络来重建输入信号来学习DFT。(类似于autoencoders自编码器)。
自编码器（autoencoder, AE）是一类在半监督学习和非监督学习中使用的人工神经网络（Artificial Neural Networks, ANNs），其功能是通过将输入信息作为学习目标，对输入信息进行表征学习（representation learning）。
- W_learned = tf.Variable(np.random.random([signal_length, 2 * signal_length]) - 0.5)
- tvals = np.arange(signal_length).reshape([-1, 1])
- freqs = np.arange(signal_length).reshape([1, -1])
- arg_vals = 2 * np.pi * tvals * freqs / signal_length
- cos_vals = tf.cos(arg_vals) / signal_length
- sin_vals = tf.sin(arg_vals) / signal_length
- losses = []
- rmses = []
- for i in range(10000):
- x = np.random.random([1, signal_length]) - 0.5
- with tf.GradientTape() as tape:
- y_pred = tf.matmul(x, W_learned)
- y_real = y_pred[:, 0:signal_length]
- y_imag = y_pred[:, signal_length:]
- sinusoids = y_real * cos_vals - y_imag * sin_vals
- reconstructed_signal = tf.reduce_sum(sinusoids, axis=1)
- loss = tf.reduce_sum(tf.square(x - reconstructed_signal))
- W_gradient = tape.gradient(loss, W_learned)
- W_learned = tf.Variable(W_learned - 0.5 * W_gradient)
- losses.append(loss)
- rmses.append(np.sqrt(np.mean((W_learned - W_expected)**2)))
- Final loss value 4.161919455121241e-22
- Final weights' rmse value 0.20243339269590094
作者用这一模型进行了很多测试，最后得到的权重不像上面的例子中那样接近傅里叶权值，但是可以看到重建的信号是一致的。
换成输入振幅和相位试试看呢。
- W_learned = tf.Variable(np.random.random([signal_length, 2 * signal_length]) - 0.5)
- losses = []
- rmses = []
- for i in range(10000):
- x = np.random.random([1, signal_length]) - .5
- with tf.GradientTape() as tape:
- y_pred = tf.matmul(x, W_learned)
- y_real = y_pred[:, 0:signal_length]
- y_imag = y_pred[:, signal_length:]
- amplitudes = tf.sqrt(y_real**2 + y_imag**2) / signal_length
- phases = tf.atan2(y_imag, y_real)
- sinusoids = amplitudes * tf.cos(arg_vals + phases)
- reconstructed_signal = tf.reduce_sum(sinusoids, axis=1)
- loss = tf.reduce_sum(tf.square(x - reconstructed_signal))
- W_gradient = tape.gradient(loss, W_learned)
- W_learned = tf.Variable(W_learned - 0.5 * W_gradient)
- losses.append(loss)
- rmses.append(np.sqrt(np.mean((W_learned - W_expected)**2)))
- Final loss value 2.2379359316633115e-21
- Final weights' rmse value 0.2080118219691059
可以看到，重建信号再次一致；
不过，和此前一样，输入振幅和相位最终得到的权值也不完全等同于傅里叶权值(但非常接近)。
由此可以得出结论，虽然最后得到的权重还不是最准确的，但是也能够获得局部的最优解。
这样一来，神经网络就学会了傅里叶变换！
- 值得一提的是，这个方法目前还有疑问存在：
首先，它没有解释计算出的权值和真正的傅里叶权值相差多少；
而且，也没有说明将傅里叶层放到模型中能带来哪些益处。
