香农定理与奈奎斯特定理区别详解

　　要搞清楚这两个定理，我们要先弄懂一些定义：波特率（baudrate）、比特率（bitrate）、带宽（bandwidth）、容量（capacity）。

　　前两个是很容易混淆的定义（谁让这两兄弟名字长得这么像呢），波特率指的是信号每秒钟电平变化的次数，单位是Hz：比如一个信号在一秒钟内电平发生了365次变化，那么这个信号的波特率就是365Hz；比特率是信号每秒钟传输的数据的位数，我们知道在计算机中，数据都是用0，1表示的，所以比特率也就是每秒钟传输0和1的个数，单位是bPS（bitpersecond）。那么这哥俩有啥关系呢？我们可以假设一个信号只有两个电平，那么这个时候可以把低电平理解为“0”，高电平理解为“1”，这样每秒钟电平变化的次数也就是传输的0，1个数了，即比特率=波特率。但是有些信号可能不止两个电平，比如一个四电平的信号，那么每个电平就可以被理解成“00”，“01”，“10”，“11”，这样每次电平变化就能传输两位的数据了，即比特率=2×波特率。一般的，bitrate=buadrate×log2L，这里L就是信号电平的个数。

　　那就在介绍一下美国数学家、信息论的创始人克劳德艾尔伍德香农（ClaudeElwoodShannon），香农一生的最大贡献主要有两个：一个是信息理论、信息熵的概念，另一个是符号逻辑和开关理论，这些理论为信息论和数字通信奠定了基础。

　　香农1916年4月30日出生于美国密歇根州的Petoskey，在Gaylord小镇长大。父亲是镇上的法官，母亲是镇里的中学校长，他们为香农提供了一个良好的教育环境。

　　然而对香农的科学影响最大的还是其祖父，他的祖父曾发明过洗衣机和一些农业机械，给香农造成了最为直接的影响。香农跟著名的发明家爱迪生也有远亲的关系。

　　IT业的理论奠基人香农逝世13周年纪念

　　香农的主要成就是它提出了信息熵的概念，他证明了熵与信息内容的不确定程度有等价关系。熵是玻尔兹曼在热力学第二定律引入的概念，指的是分子运动的混乱度。信息熵也有类似的意义，信息熵大，意味着不确定性也大。

　　熵在控制论、概率论、数论、天体物理和生命科学等领域都有重要应用，在很多领域中都有十分重要的意义。香农是最早将熵引进信息论的人。

　　香农分别在1948年和1949年在《贝尔系统技术杂志》（BellSystemTechnicalJournal）上发表的题为《通讯的数学原理》以及《噪声下的通信》等两篇论文，阐述了通信的基本问题，给出了通信系统的模型，提出了信息量的数学表达式，并解决了信道容量、信源统计特征、信源编码、信道编码等一系列基本技术问题，被公认为信息论的奠基性著作。

　　香农在进行信息的定量计算的时候，明确地把信息量定义为随机不定性程度的减少。这就表明了他认为信息是用来减少随机不定性的东西。

　　虽然香农定义的信息概念比以前有了巨大的进步，但仍然没有将信息的内容和价值包括进来，只考虑了随机不定性，而没有从根本上回答“信息是什么”的问题。

　　除了信息理论和信息熵的概念之外，香农对人类社会的另一个重大贡献是他提出的符号逻辑和开关理论。

　　贝尔实验室（BellLab）和麻省理工学院（MIT）都尊崇香农为信息论及数字通信时代的奠基人。是他将布尔代数的“真”与“假”与电路的“开”与“关”对应起来，并用1和0表示。他用布尔代数分析并优化开关电路，这就奠定了数字电路的理论基础，这也是从理论转换到实际产品设计的一个重要的环节。

　　香农1936年毕业于密歇根大学并获得数学和电子工程学士学位，1940年获得麻省理工学院数学博士学位和电子工程硕士学位，1941年他加入贝尔实验室数学部，工作到1972年，1956年他成为麻省理工学院（MIT）客座教授，1958年成为终生教授，1978年成为名誉教授。香农博士于2001年2月26日去世，享年84岁。

　　除了在普林斯顿高等研究院工作过一年外，香农一生的大部分时间都在麻省理工学院和贝尔实验室度过。二战期间，香农曾领导贝尔实验室的破译团队进行过破译工作，主要是追踪德国的飞机和火箭。

　　虽然香农在公众中并不是特别的知名，但他一生获得过许多的荣誉和奖励，例如1949年Morris奖、1955年Ballantine奖、1962年Kelly奖、1966年的国家科学奖章、IEEE的荣誉奖章、1978年Jaquard奖、1983年Fritz奖、1985年基础科学京都奖。

　　介绍完了这对哥俩，我们再来看看带宽和容量的概念。一般信道都有一个最高的信号频率（注意不是波特率哦，频率是指每秒钟的周期数，而每个周期都会有几次电平变化。。恩，看到区别了吧）和最低的信号频率，只有在这两个频率之间的信号才能通过这个信道，这两个频率的差值就叫做这个信道的带宽，单位是Hz。信道的容量又是怎么回事呢？我们知道数据在信道中传输会有他们的速度——比特率，这里面最高的比特率就叫做这个信道的容量，单位是bps。就好象每条公路都有他们的最高限速，那么所有在里面开的车都不会超过这个速度（这里我们假设违章的都被警察叔叔抓走了）。口语中也会把信道容量叫做“带宽”的，比如“带宽10M的网络”，“网络带宽是10M”等等。所以这两个概念也很容易混淆：我们平常所说的“带宽”不是带宽，而是信道容量。

　　恩，介绍完定义，再来看看这两个定理说什么。

　　奈奎斯特定理：

　　Cmax=2×B×log2L

　　这里Cmax指的是信道的最大容量，B是信道的带宽，L还是信号电平的个数

　　奈奎斯特定理适用的情况是无噪声信道，用来计算理论值。一根针掉在地上还有声音呢，没有噪声的信道在现实中是不存在的。那么有噪声的信道该如何计算呢？

　　这下轮到香农定理出马了：

　　Cmax=B×log2（1+（S/N））

　　S/N指的是信道的信噪比，但是我们一般测量出来的以db为单位的是经过10×log10（S/N）换算的，所以这里还要换算回来才行。

　　香农定理由如下的公式给出:C=W*log2*(1+S/N)其中C是可得到的链路速度，W是链路的带宽，S是平均信号功率,N是平均噪声功率，信噪比（S/N）通常用分贝（dB）表示，分贝数=10×log10（S/N）。

　　通常音频电话连接支持的频率范围为300Hz到3300Hz，则B=3300Hz－300Hz=3000Hz，而一般链路典型的信噪比是30dB，即S/N=1000，因此我们有C=3000×log2(1+1000)，近似等于30Kbps，是28.8Kbps调制解调器的极限，因此如果电话网络的信噪比没有改善或不使用压缩方法，调制解调器将达不到更高的速率。

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