C++AVL树4种旋转详讲(左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋)-编程学习网

引子：AVL树是因为什么出现的？

二叉搜索树可以缩短查找的效率，如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下时间复杂度：O(N)

两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(对树中的结点进行调整),即为AVl树以他们的名字缩写命名也可以叫高度二叉搜索树

1.AVl树的的特性

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树，它就是AVL树。

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)，节点右子树最长路径-左子树最长路径

如果AVl树有n个结点，其高度可保持在O(logN) ，搜索时间复杂度O(logN),为什么？

答：左右子树高度之差的绝对值不超过1，那么只有最后一层会差一部分的节点；

2.AVl树的框架

template<class K, class V>
struct AVLtreeNode
{
    //节点构造函数
	AVLtreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
		,_kv(kv)
	{}
    //节点的成员
    //三叉链
	AVLtreeNode<K, V>* _left;
	AVLtreeNode<K, V>* _right;
	AVLtreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf;//平衡因子
    //数据使用库里面的pair类存储的kv
	pair<K, V> _kv;
};
template<class K,class V>
class AVLtree
{
	typedef AVLtreeNode<K, V> Node;
public:
    //构造函数
	AVLtree()
		:_root(nullptr)
	{}
    //四种旋转
	void RotateL(Node* parent)
	void RotateR(Node* parent)
	void RotateLR(Node* parent)
	void RotateRL(Node* parent)
    //插入
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
    //寻找
	Node* Find(const K& kv)
private:
	Node* _root;
};

三叉链是什么？

3.AVL树的插入

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = _root, *cur = _root;
		while (cur)
		{
			//找nulptr，如果已经有这个key了，二叉搜索树的特性不支持冗余，所以返回失败
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first <kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		//
		cur = new Node(kv);
		//判断孩子在父亲的左边还是右边
		if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		while (parent)
		{
			//影响一条路径所有的祖先
			if (parent->_right == cur)
				parent->_bf++;
			else
				parent->_bf--;
			
			if (parent->_bf == 0)
			{
				//左右平衡了不会再影响祖先了
				break;
			}
			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//当前节点所在子树变了，会影响父亲
				// 继续往上更新
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//parent所在子树已经不平衡，需要旋转处理一下
				if (parent->_bf == -2)
				{
					if (cur->_bf == -1)
						// 右单旋
						RotateR(parent);
					else // cur->_bf == 1
						RotateLR(parent);
				}
				else // parent->_bf  == 2
				{
					if (cur->_bf == 1)
						// 左单旋
						RotateL(parent);
					else // cur->_bf == -1
						RotateRL(parent);
				}
				break;
			}
			else
			{
				// 插入节点之前，树已经不平衡了，或者bf出错。需要检查其他逻辑
				assert(false);
			}
		}
		return true;
	}

插入整体逻辑：

如果还没有元素是一课空树，直接插入即可；如果有元素，按pair的first(key)和比较的节点比较结果为大说明为空的哪个位置在右边，和比较的节点比较的结果小说明为空的哪个位置在左边，如果相等说明已经有这个元素了，二叉搜索树不支持冗余返回一个pair类第一个成员为那个相同元素的map的迭代器和第二个成员为false的pair类迭代器；
不知道这个已经找到的位置在父节点的左边还是右边，需要判断一下，然后插入元素；
插入元素的后那么平衡因子将发生变化，为0说明这个父亲节点左右平衡不会影响其他节点，为1或者-1需要向上调整，为2或者-2说明已经不平衡需要旋转；

节点右子树最长路径-左子树最长路径，右边插入节点就+，左边插入节点就-；

3.1四种旋转（左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋）

3.1.1左单旋

调用函数是传的参数是轴点
要保留轴点的父亲，以及调整三叉链
调整后原来的孩子和父亲（轴点）的平衡因子都置为0；

void RotateR(Node* parent)
	{
		//轴点的左，孩子节点
		Node* subL = parent->_left;
		//孩子节点的右
		Node* subLR = subL->_right;
		//我的右当你（轴点）的左
		parent->_left = subLR;
		//调整三叉链
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;
		//你（轴点）做我的右
		subL->_right = parent;
		//调整三叉链
		Node* parentParent = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;
 
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			//轴点的父亲新的孩子节点
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subL;
			else
				parentParent->_right = subL;
 
			subL->_parent = parentParent;
		}
 
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

3.1.2右单旋

调用函数是传的参数是轴点
要保留轴点的父亲，以及调整三叉链
调整后原来的孩子和父亲（轴点）的平衡因子都置为0；

void RotateL(Node* parent)
	{
		//轴点的右，孩子节点
		Node* subR = parent->_right;
		//孩子节点的左
		Node* subRL = subR->_left;
		//我的左当你（轴点）的右
		parent->_right = subRL;
		//调整三叉链
		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		//你（轴点）做我的左
		subR->_left = parent;
		Node* parentparent = parent->_parent;
 
		parent->_parent = subR;
		if (parent == _root)
		{
			if (parentparent->_left == parent)
				parentparent->_left = subR;
			else
				parentparent->_right = subR;
 
			subR->_parent = parentparent;
		}
		else
		{
			subR->_parent = nullptr;
			_root = subR;
		}
 
		subR->_bf = parent->_bf = 0;
 
	}

3.1.3左右双旋

调用左单旋是传的参数是轴点1，右单旋传的轴点2
平衡因子分3种情况，依靠3个被改变节点中最后一个来判断

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
 
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
 
		// ...平衡因子调节还需要具体分析
		if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

依靠3个被改变节点中最后一个来判断

3.1.4右左双旋

调用右单旋是传的参数是轴点1，左单旋传的轴点2
平衡因子分3种情况，依靠3个被改变节点中最后一个来判断

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;
 
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
 
		// 平衡因子更新
		if (bf == 1)
		{
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

附：AVL的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即log2(N)

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：

插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

总结

调用旋转的实参是轴点
左单旋：我的左当你的右，你（轴点）当我的左
右单旋：我的右当你的左，你（轴点）当我的右

到此这篇关于C++AVL树4种旋转(左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋)的文章就介绍到这了,更多相关C++AVL树旋转内容请搜索编程网以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持编程网！

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