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1、关系代数概述
关系代数是一种抽象
的查询语言,是关系数据操纵语言的一种传统表达方式
,它是利用对关系的运算来表达查询的。
任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上,得到预期的运算结果。
关系代数的运算对象是关系,运算结果亦为关系。
在关系代数运算中,有5种基本运算,它们是并(U)、差(—)、投影、选择、笛卡尔积(X),其它运算即交、连接和除,均可通过5种基本的运算来表达 。
运算符:
- 集合运算符
- 将关系看成
元组
的集合 - 从关系的“水平”方向即行的角度来进行运算
- 将关系看成
- 专门的关系运算符
- 不仅涉及
行
而且涉及列
- 不仅涉及
- 算术比较符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
- 逻辑运算符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
常见的关系运算符如下:
1.1 传统的集合运算
设关系 R R R和关系 S S S是相容的, t t t代表元组变量,现将各种运算分别介绍如下:
(1)并(Union)
- 关系 R R R与关系 S S S的并记作: R∪S={t∣t∈R∨t∈S} R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \} R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
- 结果关系是由属于 R R R或属于 S S S的元组组成,且结果仍为 n n n目关系,但结果关系要消除重复元组。
举例:
R R R和 S S S
- 具有相同的目 n n n(即两个关系都有n个属性)
- 相应的属性取自同一个域
R ∪ S R∪S R∪S
- 仍为 n n n目关系,由属于 R R R或属于 S S S的元组组成
- R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \} R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
具体如下图所示:
(2)交( Intersection)
- 关系 R R R与关系 S S S的交记作: R∩S={t∣t∈R∧t∈S} R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \} R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
- 结果关系由既属于 R R R又属于 S S S的元组组成,且仍为 n n n目关系。
举例:
R R R和 S S S
- 具有相同的目 n n n
- 相应的属性取自同一个域
R ∩ S R∩S R∩S
- 仍为 n n n目关系,由既属于 R R R又属于 S S S的元组组成
- R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \} R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
具体如下图所示:
(3)差(Difference)
- 关系R与关系S的差记作: R−S={t∣t∈R∧t∉S} R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\} R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
- R R R和 S S S的差,结果关系由属于 R R R而不属于 S S S的所有元组组成,且仍为 n n n目关系,即在关系 R R R中减去 R R R和 S S S的相同元组。
举例:
R R R和 S S S
- 具有相同的目 n n n
- 相应的属性取自同一个域
R − S R - S R−S
- 仍为 n n n目关系,由属于 R R R而不属于 S S S的所有元组组成
- R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∉ S } R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\} R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
(4)广义笛卡尔积(Extended Cartesian Product)
- 两个分别为 n n n目和 m m m目的关系, R R R和 S S S的广义笛卡尔积是一个 (n+m) (n+m) (n+m)列的元组的集合。
- 元组的前 n n n列是关系 R R R的一个元组,后 m m m列是关系 S S S的一个元组。若 R R R有 k 1 k_1 k1个元组, S S S有 k 2 k_2 k2个元组,则关系 R R R和关系 S S S的广义笛卡尔积有 k 1 × k 2 k_1×k_2 k1×k2个元组。
- 记作: R × S = { ( a 1 , a 2 , … a m , b 1 , b 2 , … b n ) ∣ ( a 1 , a 2 , … a m ) ∈ R ∧ ( b 1 , b 2 , … b n ) ∈ S } 。 R×S=\{(a_1,a_2,…a_m,b_1,b_2,…b_n)| (a_1,a_2,…a_m) ∈R ∧ (b_1,b_2,…b_n) ∈ S\}。 R×S={(a1,a2,…am,b1,b2,…bn)∣(a1,a2,…am)∈R∧(b1,b2,…bn)∈S}。
严格地讲应该是广义的笛卡尔积
- R R R: n n n目关系, k 1 k_1 k1个元组
- S S S: m m m目关系, k 2 k_2 k2个元组
R × S R×S R×S
-
列: m + n m+n m+n列元组的集合
- 元组的前 n n n列是关系 R R R的一个元组
- 后 m m m列是关系 S S S的一个元组
-
行: k 1 × k 2 k_1×k_2 k1×k2个元组
具体如下图所示:
1.2 专门的关系运算
在讲解之前,我们先引入几个记号,这样有助于下面的理解,确实关系代数后半部分有点难理解。
(1) R,t∈R,t[ A i ] R,t\in R,t[A_i] R,t∈R,t[Ai]
设关系模式为 R ( A1 , A2 , … , An ) R(A_1,A_2,…,A_n) R(A1,A2,…,An),它的一个关系设为 R R R, t ∈ R t\in R t∈R表示 t t t是 R R R的一个元组, t [ Ai ] t[A_i] t[Ai]则表示元组t中相应于属性 Ai A_i Ai的一个分量。
(2) t r t s ⏞ \overbrace{t_rt_s} trts , R R R为 n n n目关系, S S S为 m m m目关系。
tr ∈ R , ts ∈ S , t r t s ⏞ t_r\in R,t_s\in S, \overbrace{t_r t_s} tr∈R,ts∈S,trts 称为元组的连接。 t r t s ⏞ \overbrace{t_r t_s} trts 是一个 n + m n + m n+m列的元组,前 n n n个分量为 R R R中的一个 n n n元组,后 m m m个分量为 S S S中的一个 m m m元组。
(3)象集 Zx Z_x Zx
给定一个关系 R ( X , Z ) R(X,Z) R(X,Z), X X X和 Z Z Z为属性组。当 t [ X ] = x t[X]=x t[X]=x时, x x x在 R R R中的象集(Images Set)为:
Z x = t [ Z ] ∣ t ∈ R , t [ X ] = x Z_x={t[Z]|t \in R,t[X]=x} Zx=t[Z]∣t∈R,t[X]=x
它表示 R R R中属性组 X X X上值为 x x x的诸元组在 Z Z Z上分量的集合。
举例如下:
上面抽象的例子可能并不是特别容易理解,那么我们就拿生活中的实际例子进行解释:
学生-课程-选修关系:
学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
在上面的关系表中,我们可以把SC表看作一个关系R,它的属性组为学号,课程号以及成绩,即 R ( S n o , C n o , G r a d e ) R(Sno, Cno, Grade) R(Sno,Cno,Grade)。这时我们将SC表与上面那个例子对比可以看出,Sno为200215121的学号在关系R(SC表)中的象集为 S n o200215121 = { 1 , 2 , 3 } Sno_{200215121}=\{1,2,3\} Sno200215121={1,2,3},以此类推,这样就比较容易理解一点。
1.2.1 选择运算
- 选择又称为限制
- 选择运算符的含义
- 关系R上的选择操作是根据某些条件对关系R做水平分割,即从行的角度选择符合条件的元组。
- 在关系R中选择满足给定条件的诸元组
- 记作: σ F ( R ) = { t ∣ t ∈ R ∧ F ( t ) = ‘真’ } σF(R)=\{t|t∈R∧F(t)=‘真’\} σF(R)={t∣t∈R∧F(t)=‘真’}
- F:选择条件,是一个逻辑表达式,取逻辑值“真”或“假”。
- 选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组,是从行的角度进行的运算
F:选择条件,是一个逻辑表达式
- 基本形式为: X 1 θ Y 1 X_1θY_1 X1θY1
- θ θ θ:比较运算符 (>,≥,<,≤,=或<>) (>,≥,<,≤,=或<>) (>,≥,<,≤,=或<>)
- X 1 , Y 1 X_1,Y_1 X1,Y1:属性名、常量、简单函数.
- 属性名也可以用它的序号来代替;
以最上面的学生-课程-选修关系表举例说明更好理解:
[例1] 查询信息系(IS系)全体学生
σ S d e p t =′ I S′ ( S t u d e n t ) 或 σ5 =′ I S′ ( S t u d e n t ) σ_{Sdept} = 'IS' (Student) 或 σ_5 ='IS'(Student) σSdept=′IS′(Student)或σ5=′IS′(Student)
结果:
[例2] 查询年龄小于20岁的学生
σ S a g e < 20 ( S t u d e n t ) 或 σ 4 < 20 ( S t u d e n t ) σ_{Sage< 20}(Student) 或 σ_{4 < 20}(Student) σSage<20(Student)或σ4<20(Student)
结果:
1.2.2 投影(Projection)
投影运算符的含义:
- 从R中选择出若干属性列组成新的关系
- π A ( R ) = t [ A ] ∣ t ∈ R π_A(R) = { t[A] | t \in R } πA(R)=t[A]∣t∈R
- A:R中的属性列
投影操作主要是从列的角度进行运算:
但投影之后不仅取消了原关系中的某些列,而且还可能取消某些元组(避免重复行)
举例说明一下:
[例3] 查询学生的姓名和所在系
即求Student关系上学生姓名和所在系两个属性上的投影
π S n a m e , S d e p t ( S t u d e n t ) 或 π 2 , 5 ( S t u d e n t ) π_{Sname,Sdept}(Student) 或 π_{2,5}(Student) πSname,Sdept(Student)或π2,5(Student)
结果:
[例4] 查询学生关系Student中都有哪些系
π S d e p t ( S t u d e n t ) π_{Sdept}(Student) πSdept(Student)
结果:
由此可见,使用投影操作可以将关系表中的列单独拿出来组成新的关系表,这样方便我们可以更加清楚的查看自己想要的信息。
1.2.3 连接(Join)
连接也称为 θ θ θ连接
连接运算的含义:
从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组
连接运算从 R 和 S R和S R和S的广义笛卡尔积 R × S R×S R×S中选取( R R R关系)在 A A A属性组上的值与( S S S关系)在 B B B属性组上值满足比较关系 θ θ θ的元组
举例说明一下:
[例5]关系R和关系S 如下所示:
1.2.4 两类常用连接运算
(1)等值连接(equijoin)
- 什么是等值连接?
- θ为“=”的连接运算称为等值连接
- 等值连接的含义
- 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的
那些元组,即等值连接为:
举例说明:
- 从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性值相等的
(2)自然连接(Natural join)
- 自然连接是一种特殊的等值连接
- 两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组
- 在结果中把重复的属性列去掉
- 自然连接的含义
- R和S具有相同的属性组B
举例:
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
自然连接还需要取消重复列,所以是同时从行和列的角度进行运算。
1.2.5 除(Division)
给定关系 R ( X , Y ) R (X,Y) R(X,Y)和 S ( Y , Z ) S (Y,Z) S(Y,Z),其中 X , Y , Z X,Y,Z X,Y,Z为属性组。 R R R中的 Y Y Y与 S S S中的 Y Y Y可以有不同的属性名,但必须出自相同的域集。 R R R与 S S S的除运算得到一个新的关系 P ( X ) P(X) P(X), P P P是 R R R中满足下列条件的元组在 X X X 属性列上的投影:
元组在 X X X上分量值 x x x的象集 Yx Y_x Yx包含 S S S在 Y Y Y上投影的集合,记作:
关于象集的概念我们在前面已经提到了,在此直接举例子说明除:
[例6]设关系 R 、 S R、S R、S分别为下图的(a)和(b), R ÷ S R÷S R÷S的结果为图©
通过上面的结果我们可以发现,关系 R R R中的 B 、 C B、C B、C属性组,和关系 S S S中的 B 、 C B、C B、C属性组的域都是相同的, R 与 S R与S R与S的除运算得到了一个新的关系,我们将它当做 P ( A ) P(A) P(A), P P P是 R R R中满足上述条件的元组在 A A A属性列中的投影。
分析:
设关系 R , S R,S R,S,分别为例6中的(a)和(b), R ÷ S R÷S R÷S的结果为图©,关系 R R R中 A A A可以取四个值 { a1 , a2 , a3 , a4 } , \{ a_1,a_2,a_3,a_4\}, {a1,a2,a3,a4}, 其中:
- a 1 a_1 a1的象集为 {( b 1 , c 2 ),( b 2 , c 1 ),( b 2 , c 3 )} \{(b_1,c_2),(b_2,c_1),(b_2,c_3)\} {(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}
- a 2 a_2 a2的象集为 {( b 3 , c 7 ),( b 2 , C 3 )} \{(b_3,c_7),(b_2,C_3)\} {(b3,c7),(b2,C3)}
- a 3 a_3 a3的象集为 {( b 4 , c 6 )} \{ (b_4,c_6) \} {(b4,c6)}
- a 4 a_4 a4的象集为 {( b 6 , c 6 )} \{(b_6,c_6)\} {(b6,c6)}
S S S在 ( B , C ) (B,C) (B,C)上的投影为 { ( b1 , c2 ),( b2 , c1 ) , ( b2 , c3 ) } \{(b_1,c_2),(b_2,c_1),(b_2,c_3)\} {(b1,c2),(b2,c1),(b2,c3)}
显然只有 a1 a_1 a1的象集包含了 S S S在 ( B , C ) (B,C) (B,C)属性组上的投影,所以 R ÷ S = { a 1 } R÷S=\{a1\} R÷S={a1}。
除操作是同时从行和列角度进行运算
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