- 每个节点或者红色，或者是黑色。
- 根节点为黑色。
- 每一个叶子节点都是黑色。
- 如果一个节点是红色，那么他的孩子节点都是黑色。
- 从任意一个节点，经过的黑色节点是一样的。
在《算法4》一书中认为红黑树和2-3树是等价的。
二、2-3树详解
2-3树的2节点和3节点
很多人认为红黑树是2-3树的另一种实现，所以在正式的介绍红黑树之前，我们不妨了解2-3树，先来说说2-3树的2节点，其性质如下：
- 满足二分搜索树的基本性质。(左节点小于节点，右节点大于节点)
- 节点分为2节点和3节点，2节点即可以挂两个子节点。3节点即可挂3节点。
如下图所示，这就是典型的2-3树的2节点,可以看到2节点即父节点存放一个元素的节点，这种节点只能挂两个元素。
同理我们再给出3节点的图例，可以看出3节点的就是由两个节点拼接成的节点，其左中右分别可以挂一个子节点，由此我们才称它为3节点。
2-3树是绝对平衡树
绝对平衡树的定义即任何时刻任意节点，左节点和右节点的层数都是一样的。那么2-3树是如何实现绝对平衡的呢？假设我们要将下面的节点存放到2-3树中：
42 37 12 18 6 11 5首先添加42，由于2-3树为空，所以直接插入即可。
再插入37 ，因为37比42小，所以理应插入到42的左节点中，但是左节点为空，所以它只能作为42的邻节点，由此构成一个3节点。
再插入12，此时构成了一个4节点，不符合2-3树节点的特征。
所以我们需要将4节点进程拆解，将37的左右邻接节点全部拆为子节点：
在添加18，比37小，比12大，所以要插入到12的右子节点，但是右子节点为空，所以18就和12合并变为3节点
再添加6构成一个4节点需要拆解，导致失衡：
所以我们对这个4节点进程拆解，可以看到37的左右节点还是失衡。
所以我们将12向上合并，和37构成3节点，最终2-3树得以平衡。
三、红黑树详解
红黑树和2-3树的关系
前文我们提到红黑树可以理解为2-3树的另一种变体，我们以2-3树的2节点为例，对应成红黑树的标识就是将2节点的左边染红并作为右节点的子节点，注意，笔者这里虽说12作为37的子节点，但是在红黑树的性质中，这两个节点逻辑上可以理解为一个节点，这样的理解便于我们后续了解红黑树的黑平衡。
对应的，我们根据上面描述我们给出这样一棵2-3树，将其转为红黑树：
可以看到，转为红黑树只需将2-3树的3节点的左节点染红，例如上图的6、12组成的3节点，我们只需将6染红，作为黑节点12的左节点即可。
红黑树的性质详解
了解了红黑树这个数据结构的图例之后，我们来总结一下红黑树的特性：
从任意节点到另外一个叶子节点，经过的黑节点是一样的。
严格意义上，红黑树是一个绝对的“黑平衡树”，即我们将红节点和其父节点当作一个整体，我们就会发现，这个红黑树的层级是绝对平衡的。而将"将红节点和其父节(黑节点)点当作一个整体"的过程，就是2-3树。
红黑树最大高度为2N(logN),所以添加复杂度估算为O(logN)
红黑树如何添加元素
(1) 添加一个比插入位置大的节点
以2-3数为例，假设我们树中只有一个节点37，此时插入一个42，按照2-3树的做法，会将42插入到37的右子节点，但此时2-3数还没有右子节点，所以就将其添加到自己的右边，构成3节点。
若是红黑树，42和37进行比对之后发现，42大于37，最终42就会以右子节点的姿态在37的右边，很明显这违背了红黑树的特征，所有的红节点都必须位于左节点。所以我们需要对其进行左旋，并将右上节点染黑，左下节点染红。
对于上述的左旋转我们不妨来一个比较实际的例子，如下图所示，假设经过一轮的插入之后37作为42的根节点，很明显此时红黑树的状态是失衡的(从黑平衡角度来看，37左边有1层，42为2层，是失衡的)。
所以我们需要进行一次左旋转，因为红黑树的性质保证黑节点37的右子树都大于37，所以左旋时，先找到红节点42的最小节点作为37的右子节点，于是37指向41：
因为41顶替了红节点42，42直接上升为父节点，自此以此保证黑平衡的左旋就完成了：
完整的代码如下：
private Node leftRotate(Node node) {
// 找到node节点的左节点
Node x = node.right;
//左旋
node.right = x.left;
x.left = node;
//颜色翻转
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}(2) 连续添加两个节点都在左边
如下图，构成了一个左倾斜的节点，导致失衡。
对此我们就需要进行一个右旋的操作，如下图，因为红黑树的有序性，这使得42这个根节点大于左边的所有节点，所以我们将左节点中最大的节点作为42的左节点，让37作为根节点，完成黑平衡，如下图。
可以看到虽然完成了右旋转的操作，但是最终的左右节点都是红的，导致红黑树并不是黑平衡的，所以这里就需要一次颜色翻转。这里我们先贴出右旋转的代码，在介绍颜色翻转逻辑：
private Node rightRotate(Node node) {
Node x = node.left;
node.left = x.right;
x.right = node;
node.color = RED;
x.color = node.color;
return x;
}(3) 添加节点后子节点都变红
在上文右旋操作导致，颜色错误进而出现红黑树违背黑平衡的情况，所以我们需要进行颜色翻转，如下图，我们将子节点都为红的节点染黑，再将父节点染红(父节点会将笔者后续的递归逻辑中变黑)。
这样依赖37左节点层级为1，右节点层级也为1(黑平衡要求我们将左红节点和黑节点看作一个整体)
(4) 添加节点成为LR型
如下图，LR型就是37 12 13这样的插入顺序，对此我们只需左旋再右旋最后颜色翻转一下即可
四、手写一个红黑树
针对上述的图解，我们给出实现红黑树的几个问题点：
- 红黑树是由一个个节点构成，所以我们需要声明节点内部类，内部类拥有颜色、左节点指针、右节点指针、key、value、颜色等几个属性。
- 有了节点内部类，我们就需要对红黑树类添加相关属性描述了，首先是红黑树的容量、其次红黑树的操作都需要从树根开始，所以我们需要首节点root、以及容量size。
- 红黑树插入都需要和每个key进行比较，所以红黑树类的k要求可以比较，所以我们定义的红黑树要求是泛型类，并且泛型key必须是可比较的，所以这个k泛型需要继承Comparable。
完成这些铺垫之后，我们就需要进行插入操作的逻辑分析了，我们不妨对上文长篇论述的插入过程进行整理一下:
- 插入的节点在当前节点右边，导致红节点在右边，需要进行左旋转保证黑平衡。
- 连续插入两个节点都在当前节点左边，导致向左倾斜，需要进行右旋转保持平衡。
- 第一次插入的节点在当前节点左边，然后再插入一个节点在红黑树右边导致红黑树失衡。我们需要先左旋一下，再右旋一下。
- 当前节点的左节点和右节点都是红色的，需要将颜色翻转为黑色。
分析之后我们发现3这个一点包含了1、2的操作，所以我们编写3、4两个点的逻辑就可以实现上面的所有功能了，如下图:
注意红黑树要求根节点为黑色，所以我们完成上述的操作之后，需要手动将根节点变为黑色。
对核心逻辑完成梳理之后，我们就可以开始对红黑树展开编码了。首先我们需要创建红黑树类，可以看到我们声明的k泛型继承Comparable：
public class RedBlackTree, V> 对于节点颜色只有红黑两种，所以我们将其常量化：
private static final boolean RED = true;
private static final boolean BLACK = false;然后我们再根据上文的描述给出红黑树每个节点的成员变量：
private class Node {
private K key;
private V val;
private Node left, right;
private boolean color;
public Node(K key, V val) {
this.key = key;
this.val = val;
this.left = null;
this.right = null;
this.color = RED;
}
} 然后在进行红黑树容量、首节点、构造方法声明：
private Node root;
private int size;
public RedBlackTree() {
this.root = null;
this.size = 0;
}终于我们可以正式实现节点添加逻辑，首选是左旋的逻辑，这一点我们在上文图解添加过程时已经写好了伪代码，补充完成即可。
private Node leftRotate(Node node) {
// 找到node节点的左节点
Node x = node.right;
//左旋
node.right = x.left;
x.left = node;
//颜色翻转
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}右旋逻辑:
private Node rightRotate(Node node) {
Node x = node.left;
node.left = x.right;
x.right = node;
node.color = RED;
x.color = node.color;
return x;
}颜色翻转：
private void flipColors(Node node) {
node.color = RED;
node.left.color = BLACK;
node.right.color = BLACK;
}完成后我们就可以根据上文分析的添加逻辑，编写3、4逻辑整合,首先为了代码复用，我们编写一下颜色判断的逻辑，注意若节点不存在，我们也认定这个节点为黑：
private boolean isRed(Node node) {
if (node == null) {
return false;
}
return node.color == RED;
} 然后完成添加逻辑，可以看到笔者通过递归将3、4逻辑完成的红黑树的添加操作，完成添加操作并旋转平衡后的当前节点。
private Node add(Node node, K key, V val) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(key, val);
}
if (key.compareTo(node.key) < 0) {
node.left = add(node.left, key, val);
} else if (key.compareTo(node.key) > 0) {
node.right = add(node.right, key, val);
} else {
node.val = val;
}
// 左节点不为红，右节点为红，左旋
if (isRed(node.right) && !isRed(node.left)) {
node = leftRotate(node);
}
// 左链右旋
if (isRed(node.left) && isRed(node.left.left)) {
node = rightRotate(node);
}
// 颜色翻转
if (isRed(node.left) && isRed(node.right)) {
flipColors(node);
}
return node;
} 完成核心逻辑后，我们就将根节点变黑即可，考虑封装性，我们将上文方法封装成一个add允许外部传键值进来。
public void add(K key, V val) {
root = add(root, key, val);
root.color = BLACK;
}补充剩余逻辑
获取容量和获取根节点：
public int getSize() {
return size;
}
private Node getRoot() {
return root;
}用层次遍历法测试结果
我们希望测试红黑树添加的准确性，所以我们用尝试用代码添加以下几个节点
150 172 194 271 293 370完成后的树应该如下图所示
为了验证笔者代码的准确性，我们编写一段层次遍历的测试代码，按层次顺序以及颜色输出节点
public void levelOrder() {
Node root = this.getRoot();
ArrayDeque queue = new ArrayDeque();
queue.add(root);
while (!queue.isEmpty()) {
Node node = queue.pop();
System.out.println("key:" + node.key + " val: " + node.val + " color:" + (node.color == RED ? "red" : "black"));
if (node.left != null) {
queue.add(node.left);
}
if (node.right != null) {
queue.add(node.right);
}
}
} 测试代码，可以看到输出结果正确
public static void main(String[] args) {
RedBlackTree rbTree = new RedBlackTree<>();
rbTree.add(150, "");
rbTree.add(172, "");
rbTree.add(194, "");
rbTree.add(271, "");
rbTree.add(293, "");
rbTree.add(370, "");
rbTree.levelOrder();
} 五、Java中HashMap关于红黑树的使用
插入
我们都知道Java中的HashMap在底层数组容量为64且当前这个bucket的链表长度达到8时会触发扩容，对此我们不妨写一段代码测试一下，代码如下所示，可以看到笔者为了更好的演示，将每一个map的value值声明为当前key在hashMap底层数组中的索引位置。所以我们在map.put("590", "Idx：12");打上断点
HashMap map = new HashMap(64);
map.put("24", "Idx：2");
map.put("46", "Idx：2");
map.put("68", "Idx：2");
map.put("29", "Idx：7");
map.put("150", "Idx：12");
map.put("172", "Idx：12");
map.put("194", "Idx：12");
map.put("271", "Idx：12");
map.put("293", "Idx：12");
map.put("370", "Idx：12");
map.put("392", "Idx：12");
map.put("491", "Idx：12");
//转红黑树
map.put("590", "Idx：12"); 核心代码如下所示，我们传入的590的key会在i为12的链表中不断查找空闲的位置，然后完成插入，循环过程中会记录当前链表元素个数binCount ，经过判断binCount >TREEIFY_THRESHOLD - 1即8-1=7,然后调用treeifyBin看看是扩容还是转红黑树
final V putVal(int hash, K key, V value, boolean onlyIfAbsent,
boolean evict) {
Node[] tab; Node p; int n, i;
if ((tab = table) == null || (n = tab.length) == 0)
n = (tab = resize()).length;
//计算出hashMap这个key对应索引Ii的位置
if ((p = tab[i = (n - 1) & hash]) == null)
tab[i] = newNode(hash, key, value, null);
else {
....略
//核心逻辑在这里，我们传入的590的key会在i为12的链表中不断查找空闲的位置，然后完成插入，循环过程中会记录当前链表元素个数binCount ，经过判断binCount >TREEIFY_THRESHOLD - 1即8-1=7,然后调用treeifyBin转红黑树
for (int binCount = 0; ; ++binCount) {
if ((e = p.next) == null) {
p.next = newNode(hash, key, value, null);
if (binCount >= TREEIFY_THRESHOLD - 1)
treeifyBin(tab, hash);
break;
}
.....
}
}
.........略
} 我们再来看看treeifyBin，可以看到如果数组容量小于64直接扩容，反之就是将当前节点转为树节点然后调用treeify转红黑树，关于红黑树的逻辑上文已经详细说明了这里就不多赘述了。
final void treeifyBin(Node[] tab, int hash) {
int n, index; Node e;
//如果数组容量小于64直接扩容
if (tab == null || (n = tab.length) < MIN_TREEIFY_CAPACITY)
resize();
else if ((e = tab[index = (n - 1) & hash]) != null) {
TreeNode hd = null, tl = null;
do {
//将节点转为树节点，hd即为head指向当前链表头节点，然后后续节点一次转为树节点和前驱节点彼此指向，从而构成一个双向链表
TreeNode p = replacementTreeNode(e, null);
if (tl == null)
hd = p;
else {
p.prev = tl;
tl.next = p;
}
tl = p;
} while ((e = e.next) != null);
//如果hd不为空说明需要转红黑树，调用treeify
if ((tab[index] = hd) != null)
hd.treeify(tab);
}
} HashMap中的红黑树是如何完成查询的呢？(重点)
HashMap源码如下，首先通过hashCode找到桶的位置，然后判断这个桶是否只有一个元素，如果没有则直接返回，反之调用getTreeNode从红黑树中找到对应的元素
final Node getNode(int hash, Object key) {
Node[] tab; Node first, e; int n; K k;
if ((tab = table) != null && (n = tab.length) > 0 &&
//计算hash对应的节点first
(first = tab[(n - 1) & hash]) != null) {
//如果有且只有一个则直接返回
if (first.hash == hash &&
((k = first.key) == key || (key != null && key.equals(k))))
return first;
if ((e = first.next) != null) {
//如果是红黑树则调用getTreeNode
if (first instanceof TreeNode)
return ((TreeNode)first).getTreeNode(hash, key);
do {
if (e.hash == hash &&
((k = e.key) == key || (key != null && key.equals(k))))
return e;
} while ((e = e.next) != null);
}
}
return null;
} 我们步入getTreeNode会看到find方法，可以看到它查询红黑树的元素逻辑很简单，根据红黑树的有序性找到和查询元素hash值相同、equals为true的节点返回即可。
final TreeNode find(int h, Object k, Class kc) {
TreeNode p = this;
do {
int ph, dir; K pk;
TreeNode pl = p.left, pr = p.right, q;
//比对元素hash值大于h，p指向p的左子节点进行下一次比对
if ((ph = p.hash) > h)
p = pl;
//比对值小于查询节点的hash，p指向右子节点进行下一次比对
else if (ph < h)
p = pr;
//如果key一样且equals为true直接返回这个元素
else if ((pk = p.key) == k || (k != null && k.equals(pk)))
return p;
else if (pl == null)
p = pr;
else if (pr == null)
p = pl;
else if ((kc != null ||
(kc = comparableClassFor(k)) != null) &&
(dir = compareComparables(kc, k, pk)) != 0)
p = (dir < 0) ? pl : pr;
else if ((q = pr.find(h, k, kc)) != null)
return q;
else
p = pl;
} while (p != null);
return null;
} 小结
本文通过图解加实现为读者演示了红黑树的特点和工作流程，可以看到红黑树的逻辑起始并没有那么复杂，只要读者专注核心概念，用一些简单的示例画图了解过程，再通过需求分析所有逻辑和设计之后，编码就没有那么困难了。既使遇到问题，我们也可以抓住数据结构的特点，配合使用debug+中序遍历也能解决逻辑漏洞。从而加深对数据结构的理解。
在此我们再对二分搜索树、AVL树、红黑树三者使用场景进行一下说明：
- 随机添加节点：若节点存在大量随机性，使用二分搜索树即可，相比于红黑树的2O(nLogN)复杂度，二分搜索树的O(logN)性能更佳，但是二分搜索树可能存在退化成链表的情况，需谨慎考虑。
- 仅作查询：对于查询AVL最合适不过。他的平衡高度为logn比红黑树的“黑平衡”那种2logn的平衡要出色很多，在添加少，查询多的情况下，使用AVL树更合适。
- 综合操作：若需要增删改查等综合操作，建议使用红黑树，红黑树虽然不是最优但是综合上是最优的。
