AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
- 平衡因子的计算是右子树的高度减去左子树的高度的差值结果
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log N) ，搜索时间复杂度O( log N)。
AVL树节点的定义
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
AVLTreeNode<K, V>* _left; //左孩子
AVLTreeNode<K, V>* _right; //右孩子
AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父亲结点
pair<K, V> _Kv; //键值
int _bf; //平衡因子
//构造函数
AVLTreeNode(const pair<K, V>& Kv)
:_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_Kv(Kv)
,_bf(0)
{ }
};
AVL树的定义
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
AVLTree()
:_root(nullptr)
{}
private:
Node* _root;
};
AVL树的插入
AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入
过程可以分为两步：
按照二叉搜索树的方式插入新节点
与根结点比较如果比根大就往右子树插入，如果比根小就往左子树插入，直到走到合适的位置就插入，由于这里是三叉链所以需要处理结点之间的关联关系
bool Insert(const pair<K, V> &kv)
{
if (!_root) _root = new Node(kv); //初始根节点
Node* cur = _root;
Node* parent = _root;
while (cur)
{
K key = cur->_Kv.first;
if (key > kv.first) //比根结点的key值小，
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if(key < kv.first)//比根结点的key值大，
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false; //插入失败
}
}
//开始插入
cur = new Node(kv);
Node* newNode = cur;
if (parent->_Kv.first > newNode->_Kv.first) //新插入的结点key值比根节点小就插入到左子树
{
parent->_left = newNode;
newNode->_parent = parent;
}
else //新插入的结点key值比根节点大就插入到右子树
{
parent->_right = newNode;
newNode->_parent = parent;
}
}
调整节点的平衡因子
当左右子树的高度发生了变化，那么就需要对父亲及祖先路径上的所有结点的平衡因子进行调整
//更新祖先路径的所以结点的平衡因子
while (parent)
{
if (parent->_left == cur) parent->_bf--; //1、
if (parent->_right == cur) parent++; //2、
if (parent->_bf == 0) break; //3、
if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)//4、
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2) //5、
{
//旋转
if (parent->_bf == -2)
{
if (cur->_bf == -1) RotateR(parent); //左边高，右单旋
else RotateLR(parent); //左右双旋
}
else //右 parent->_bf == 2
{
if (cur->_bf == 1) RotateL(parent);//右边高左单旋转
else RotateRL(parent); //右左双旋
}
break;
}
}
AVL树的四种旋转
旋转的原则是遵循搜索树的规则，尽量让两边平衡
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
右单旋
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
不管是哪种单旋都得考虑两种情况：
1、局部旋转，如果parent并不是树的_root结点，那么就需要调整subL和根结点的关系
2、独立旋转，parent就是树的_root结点，那么subL就是旋转后的根节点了
3、subLR有可能为null
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR) subLR->_parent = parent; //防止subLR为nullptr
subL->_right = parent;
Node* parent_parent = parent->_p arent; //指针备份
parent->_parent = subL;
if (_root == parent) //如果parent就是树的根
{
_root = subL; //subL取代parent
_root->_parent = nullptr;
}
else //如果parent并不是树的根
{
if (parent_parent->_left == parent) parent->_left = subL;
else parent_parent->_right = subL;
subL->_parent = parent_parent; //subL去做parent_parent的孩子
}
//调节平衡因子
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
左单旋
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
跟右单旋几乎是一样的做法
1、局部旋转，如果parent并不是树的_root结点，那么就需要调整subL和根结点的关系
2、独立旋转，parent就是树的_root结点，那么subL就是旋转后的根节点了
3、subRL有可能为null
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL) subRL->_parent = parent;
subR->_left = parent;
Node* parent_parent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (_root == parent)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent_parent->_left == parent) parent_parent->_left = subR;
else parent_parent->_right = subR;
subR->_parent = parent_parent;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
1、新增结点在b或c都会影响左右子树的高度，从而引发双旋
h > 0情况一：
h > 0，情况二：
h == 0情况三：
//左右旋转
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1) //h > 0，新增结点在b
{
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) //h > 0，新增结点在c
{
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if(bf == 0) //h = 0
{
parent->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
}
}
右左双旋
右左双旋跟左右双旋的情况基本是类似的，这里就不列举多种情况了
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
//右左旋转
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == -1) //h > 0，新增结点在b
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) //h > 0，新增结点在c
{
parent->_bf = -1;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//h = 0
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
}
查找
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (key > cur->_Kv.first) cur = cur->_right; //左子树
else if (key < cur->_Kv.first) cur = cur->_left; //右子树
else return cur;
}
}
其他接口
判断是不是平衡二叉树
int height(Node* root) //求高度
{
return !root ? 0
: max(height(root->_left),
height(root->_right)) + 1;
}
void _Inorder(Node* root)//中序遍历
{
if (!root) return;
_Inorder(root->_left);
printf("%d : %d\n",root->_Kv.first, root->_Kv.second);
_Inorder(root->_right);
}
//判断是不是平衡二叉树
bool IsAVLTree()
{
return _IsAVLTree(_root);
}
bool _IsAVLTree(Node* root)
{
if (!root) return true;
int left = height(root->_left);
int right = height(root->_right);
//检查平衡因子
if (right - left != root->_bf)
{
printf("错误的平衡因子 %d :%d\n", root->_Kv.first, root->_Kv.second);
return false;
}
return (abs(right - left) < 2)
&& _IsAVLTree(root->_left)
&& _IsAVLTree(root->_right);
}
析构函数
//析构函数
~AVLTree()
{
Destroy(_root);
_root = nullptr;
}
void Destroy(Node *root)//后序销毁结点
{
if (!root) return;
Destroy(root->_left);
Destroy(root->_right);
delete root;
}
拷贝构造
Node* copy(Node* cp)
{
if (!cp) return nullptr;
Node* newnode = new Node(cp->_Kv);
newnode->_left = copy(cp->_left);
newnode->_right = copy(cp->_right);
return newnode;
}
//拷贝构造
AVLTree(const AVLTree<K, V>& job)
{
if(&job != this)
_root = copy(job._root);
}
拷贝赋值
void operator=(AVLTree<K, V> tmp)
{
if (&tmp != this)
swap(tmp._root, this->_root);
}
重载operator[ ]
V& operator[](const K& key)
{
return (Insert(make_pair(key, V())).first)->_Kv.second;
}
AVL树的完整实现代码博主已经放在 git.
总结
到此这篇关于C++实现AVL树的文章就介绍到这了,更多相关C++实现AVL树内容请搜索编程网以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持编程网！
