这么想你肯定是没有好好阅读前面章节中小傅哥讲到的RSA算法,对于与欧拉结果计算的互为质数的公钥e,其实就需要使用到辗转相除法来计算出最大公约数。
放心,你所有写的代码,都是对数学逻辑的具体实现,无非是难易不同罢了。所以如果你真的想学好编程思维而不只是CRUD,那就要把数据结构、算法逻辑等根基打牢。
二、短除法
既然都说到这了,那你还记得怎么计算最大公约数吗,死鬼?
以上这种方式就是我们在上学阶段学习的,这种计算方式叫做短除法。
短除法:是算术中除法的算法,将除法转换成一连串的运算。短除法是由长除法简化而来,当中会用到心算,因此除数较小的除法比较适用短除法。对大部分的人而言,若除以12或12以下的数,可以用记忆中乘法表的内容,用心算来进行短除法。也有些人可以处理除数更大的短除法。—— 来自维基百科
三、欧几里德算法
短除法能解决计算最大公约数的问题,但放到程序编写中总是很别扭,总不能一个个数字去试算,这就显得很闹挺。其实除了短除法还有一种是计算公约数的办法,叫做欧几里德算法。
欧几里德算法:是计算两个整数(数字)的最大公约数【GCD(Greatest Common Divisor)】的有效方法,即能将它们整除而无余数的最大数。它以古希腊数学家 欧几里得的名字命名,欧几里德在他的几何原本(约公元前 300 年)中首次描述了它。它是算法的示例,是根据明确定义的规则执行计算的分步过程,并且是常用的最古老的算法之一。它可以用来减少分数到他们的最简单的形式,并且是许多其他数论和密码计算的一部分。—— 来自维基百科
GCD,代表了两个数字的最大公约数,GCD(X,Y) = Z,那么就表示 X 和 Y 的最大公约数是 Z。由欧几里德算法给出 GCD(X,Y) = GCD(Y,XmodY) —— mod 表示求模计算余数。
其实简单来说就是,X和Y的公约数是Z,那么Y和Z的公约数也是Z。24和18的最大公约数是6,那么18和6的公约数也是6。嘿,就这么一个事。但就因为有了这一样一条推论,让编程代码变得优雅舒服,只需要不断地将X、Y两数作差,就能计算最大公约数。
这让小傅哥想起,多年前上学时候,我也给出过一条推论;”任意一组所能构成等差数列的三个数字,所能组合出来的一个三位数,都能被3整除。“ 例如:等差数列 16、31、46 组合成三位数 463116 或者 461631 都能被3整除。
四、辗转相除法代码实现
欧几里德算法 = 辗转相除法法:https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm
在辗转相除法的实现中,计算最大公约数的方式,就是使用一个数字减去另外一个数字,直到两个数字相同或者有其中一个数字为0,那么最后不为零的那个数字就是两数的最大公约数。
小傅哥在这里提供了2种计算方式,一种是循环另外一种是递归。—— 方便很多看不懂递归的小伙伴可以用另外的方式学习。
1. 循环实现
- 两数循环处理中,条件为 m != 0 && n != 0 && m != n直至循环结束。
2. 递归实现
- 计算方式逻辑和条件是一样的,只不过这个是使用了递归调用的方式进行处理。
3. 测试验证
测试结果
- 计算 124 和 20 的最大公约数,两个计算方式结果都是 4 。好的,到这测试通过。
- 这并不是一个很难的知识点,但当你做一些技术分享、答辩述职等时候,能这样用技术语言而不是大白话的讲述出来后,其实高度就有了。兄弟!
在 stackoverflow.com 看到一道问题:计算两个整数的最小公倍数的最有效方法是什么?
乍一看, 这能有啥。不就是计算下最小公倍数吗?但一想我脑袋中计算最小公倍数的方法;一种是在本子上通过短除法计算,另外一种是基于计算出的最大公约数,再使用公式:lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b) 求得最小公倍数。—— 计算最大公约数是基于欧几里德算法(辗转相除法)
那么这样的计算方法是不是最有效的方法,另外如果是同时计算多个整数的最小公倍数,要怎么处理?
其实编程的学习往往就是这样,留心处处都是学问,你总是需要从各种细小的点中,积累自己的技术思维广度和纵向探索深度。好啦,接下来小傅哥就给大家介绍几种用于计算最小公倍数的算法。
五、用公约数实现
公式:lcm(a, b) = |a * b| / gcd(a, b)
- 首先这里是一个比较简单的方式,基于两数乘积除以最大公约数,得到的结果就是最小公倍数。
六、简单累加计算
此计算方式为,在一组正整数数列中,通过找到最小的数字进行自身累加循环,直至所有数字相同时,则这个数字为最小公倍数。—— 你能代码实现一下吗?
- 在代码实现中,首先要把n个整数数列进行克隆保存。因为每次相加的都是最初的这个数列里的数字值。接下来就是以所有数字都相等作为条件循环判断,不断地的累加最小的数值即可。最终返回的就是最小公倍数。
七、表格推演计算
表格计算方式为将一组数字以最小的质数2开始整除,直到不能被2整除后,用下一个质数3继续整除(剩余的数字中比大的最小的质数)直至所有数字都为1的时候结束。最终所有有效的质数乘积就是最小公倍数。—— 想想如果这让你用代码实现,你能肝出来吗?
- 在代码实现中我们通过 Map 作为表的key,Map 中的 List 作为表每一行数据。通过这样一个结构构建出一张表。
- 接下来以所有元素最后一位为1作为条件循环处理数据,用最开始的2作为素数整除列表中的数据,并保存到下一组数列中。当2不能整除时,则刷新素数,选取另外一个列表中最小的素数作为除数继续。
- 这个过程中会累计有效素数的乘积,这个乘积的最终结果就是最小公倍数。
八、测试验证
单元测试
测试结果
- 到这里测试就结束了,本章一共介绍了三种计算最小公倍数的方法。那如果只让你看到逻辑,你能写出最终的代码吗?
九、常见面试
- 最大公约数的使用用途?
- 如何使用代码实现最大公约数计算?
- 你是否了解欧几里德算法?
- 关于数论你还记得多少?
- RSA 加密算法为什么需要用到公约数计算?
- 如何计算两数的最小公倍数?
- 如果计算多个整数的最小公倍数?
- 你能说一下具体如何实现这种X的计算流程吗?
- 你知道最小公倍数计算的用途吗?
- What is the most efficient way to calculate the least common multiple of two integers?:https://stackoverflow.com/questions/3154454/what-is-the-most-efficient-way-to-calculate-the-least-common-multiple-of-two-int/3154503#3154503
- Least common multiple:https://en.wikipedia.org/wiki/Least_common_multiple
- Chebyshev function:https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_function
- 欧几里德算法:https://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm
- 线性组合:https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_combination
- 贝祖定理:https://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity