用图形解释10种图形算法

在现实世界中，例如社交媒体网络，网页和链接以及GPS中的位置和路线，图形已经成为一种强大的建模和捕获数据的手段。 如果您有一组相互关联的对象，则可以使用图形来表示它们。

 

 

> Image by Author

 

在本文中，我将简要说明10种基本图形算法，这些算法对于分析及其应用非常有用。

首先，让我们介绍一个图表。

什么是图?

一个图由一组有限的顶点或节点以及一组连接这些顶点的边组成。 如果两个顶点通过同一边彼此连接，则它们称为相邻顶点。

下面给出一些与图有关的基本定义。 您可以参考图1的示例。

• 顺序：图形中的顶点数
• 大小：图形中的边数
• 顶点度：入射到顶点的边数
• 孤立的顶点：未连接到图中任何其他顶点的顶点
• 自环：从顶点到自身的边
• 有向图：所有边都有一个方向的图，该方向指示什么是起始顶点，什么是终止顶点
• 无向图：具有没有方向的边的图
• 加权图：图的边缘具有权重
• 未加权图形：图形的边缘没有权重

 

 

> Fig 1. Visualization of Terminology of Graphs (Image by Author)

 

1.广度优先搜索

 

> Fig 2. Animation of BFS traversal of a graph (Image by Author)

 

遍历或搜索是可以在图形上执行的基本操作之一。 在广度优先搜索(BFS)中，我们从一个特定的顶点开始，并在当前深度探索其所有邻居，然后再进入下一级的顶点。 与树不同，图可以包含循环(第一个顶点和最后一个顶点相同的路径)。 因此，我们必须跟踪访问的顶点。 在实现BFS时，我们使用队列数据结构。

图2表示示例图的BFS遍历的动画。 注意如何发现顶点(黄色)并访问顶点(红色)。

应用领域

• 用于确定最短路径和最小生成树。
• 搜索引擎搜寻器用来构建网页索引。
• 用于在社交网络上搜索。
• 用于查找对等网络(例如BitTorrent)中的可用邻居节点。

2.深度优先搜索

 

> Fig 3. Animation of DFS traversal of a graph (Image by Author)

 

在深度优先搜索(DFS)中，我们从特定的顶点开始，并在回溯(回溯)之前沿每个分支进行尽可能的探索。 在DFS中，我们还必须跟踪访问的顶点。 在实现DFS时，我们使用堆栈数据结构来支持回溯。

图3表示与图2相同的示例图的DFS遍历的动画。请注意，它如何遍历深度和回溯。

应用领域

• 用于查找两个顶点之间的路径。
• 用于检测图中的周期。
• 用于拓扑排序。
• 用于解决只有一种解决方案(例如迷宫)的难题

3.最短路径

 

> Fig 4. Animation showing the shortest path from vertex 1 to vertex 6 (Image by Author)

 

从一个顶点到另一个顶点的最短路径是图形中的一条路径，因此应移动的边的权重之和最小。

图4显示了一个动画，其中确定了图形中从顶点1到顶点6的最短路径。

演算法

• Dijkstra最短路径算法
• Bellman–Ford算法

应用领域

• 用于在Google地图或Apple地图等地图软件中查找从一个位置到另一个位置的路线。
• 用于网络中以解决最小延迟路径问题。
• 用于抽象机器中，以通过在不同状态之间进行转换来确定达到某个目标状态的选择(例如，可用于确定赢得一场比赛的最小可能次数)。

 

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> Image by Daniel Dino-Slofer from Pixabay

 

4.循环检测

 

> Fig 5. A cycle (Image by Author)

 

循环是图形中的第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。 如果我们从一个顶点开始，沿着一条路径行进，然后在起始顶点处结束，那么这条路径就是一个循环。 循环检测是检测这些循环的过程。 图5显示了遍历一个循环的动画。

演算法

• 弗洛伊德循环检测算法
• 布伦特算法

应用领域

• 用于基于分布式消息的算法。
• 用于在群集上使用分布式处理系统处理大规模图形。
• 用于检测并发系统中的死锁。
• 在加密应用程序中用于确定消息的密钥，该密钥可以将该消息映射到相同的加密值。

5.最小生成树

 

> Fig 6. Animation showing a minimum spanning tree (Image by Author)

 

最小生成树是图的边缘的子集，该图以最小的边权重之和连接所有顶点，并且不包含循环。

图6是一个动画，显示了获取最小生成树的过程。

演算法

• Prim的算法
• Kruskal的算法

应用领域

• 用于构造树以在计算机网络中广播。
• 用于基于图的聚类分析。
• 用于图像分割。
• 用于将社会区域划分为连续区域的社会地理区域的区域化。

6.牢固连接的组件

 

> Fig 7. Strongly connected components (Image by Author)

 

如果图中的每个顶点均可从其他每个顶点到达，则称该图是牢固连接的。

图7显示了一个示例图，其中包含三个具有红色，绿色和黄色的顶点的牢固连接的组件。

演算法

• Kosaraju的算法
• Tarjan的强连接组件算法

应用领域

• 用于计算Dulmage–Mendelsohn分解，这是二部图边缘的分类。
• 用于社交网络中，以找到一群紧密联系并根据共同兴趣提出建议的人。

 

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> Image by Gerd Altmann from Pixabay

 

7.拓扑排序

 

 

> Fig 8. A topological ordering of vertices in a graph (Image by Author)

 

图的拓扑排序是其顶点的线性排序，因此对于排序中的每个有向边(u，v)，顶点u都位于v之前。

图8显示了顶点(1、2、3、5、4、6、7、8)的拓扑顺序的示例。 您可以看到顶点5应该位于顶点2和3之后。类似地，顶点6应该位于顶点4和5之后。

演算法

• 卡恩算法
• 基于深度优先搜索的算法

应用领域

• 用于指令调度。
• 用于数据序列化。
• 用于确定在makefile中执行的编译任务的顺序。
• 用于解析链接器中的符号依赖性。

8.图形着色

 

> Fig 9. Vertex colouring (Image by Author)

 

图形着色可在确保某些条件的同时为图形元素分配颜色。 顶点着色是最常用的图形着色技术。 在顶点着色中，我们尝试使用k种颜色为图形的顶点着色，并且任何两个相邻的顶点都不应具有相同的颜色。 其他着色技术包括边缘着色和面部着色。

图的色数是为图着色所需的最少颜色数。

图9显示了使用4种颜色的示例图的顶点着色。

演算法

• 使用广度优先搜索或深度优先搜索的算法
• 贪婪的着色

应用领域

• 用于安排时间表。
• 用于分配移动无线电频率。
• 用于建模和求解数独游戏。
• 用于检查图是否为二部图。
• 用于为相邻国家或地区具有不同颜色的国家或州的地理地图着色。

 

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> Image by TheAndrasBarta from Pixabay

 

9.最大流量

 

> Fig 10. Determining the maximum flow (Image by Author)

 

我们可以将图建模为以边权重为流量的流量网络。 在最大流量问题中，我们必须找到一条可以获得最大可能流量的流路。

图10显示了确定网络的最大流量并确定最终流量值的动画示例。

演算法

• 福特-福克森算法
• Edmonds–Karp算法
• Dinic的算法

应用领域

• 用于航空公司调度以调度飞行人员。
• 用于图像分割以查找图像中的背景和前景。
• 用于淘汰无法赢得足够比赛来赶上其所在部门的领先者的棒球队。

10.匹配

 

> Fig 11. Matching of a bipartite graph (Image by Author)

 

图中的匹配项是一组没有共同顶点的边(即，没有两个边共享共同的顶点)。 如果匹配包含尽可能多的与尽可能多的顶点匹配的边，则该匹配称为最大匹配。

图11显示了获得二部图与橙色和蓝色表示的两组顶点的完全匹配的动画。

演算法

• Hopcroft-Karp算法
• 匈牙利算法
•  开花算法

应用领域

• 用于对接会以匹配新娘和新郎(稳定的婚姻问题)。
• 用于确定顶点覆盖率。
• 在运输理论中用于解决资源分配和出行优化中的问题。

最后的想法

我希望您觉得这篇文章对图形算法进行简单而概括的介绍很有用。 我很想听听您的想法。

非常感谢您的阅读。