虽然大多数数据科学家依赖肘部图和树状图来确定K均值和层次聚类的最佳聚类数，但还有一组其他的聚类验证技术可以用来选择最佳的组数（聚类数）。我们将在sklearn.datasets.load_wine问题上使用K均值和层次聚类来实现一组聚类验证指标。以下的大多数代码片段都是可重用的，可以在任何数据集上使用Python实现。
接下来我们主要介绍以下主要指标：
- Gap统计量（Gap Statistics）（!pip install --upgrade gap-stat[rust]）
- Calinski-Harabasz指数（Calinski-Harabasz Index ）（!pip install yellowbrick）
- Davies Bouldin评分（Davies Bouldin Score ）（作为Scikit-Learn的一部分提供）
- 轮廓评分（Silhouette Score ）（!pip install yellowbrick）
引入包和加载数据
# Libraries to help with reading and manipulating data
import pandas as pd
import numpy as np
# libaries to help with data visualization
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
# Removes the limit for the number of displayed columns
pd.set_option("display.max_columns", None)
# Sets the limit for the number of displayed rows
pd.set_option("display.max_rows", 200)
# to scale the data using z-score
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
# to compute distances
from scipy.spatial.distance import cdist, pdist
# to perform k-means clustering and compute silhouette scores
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.metrics import silhouette_score
# to visualize the elbow curve and silhouette scores
from yellowbrick.cluster import KElbowVisualizer, SilhouetteVisualizer
# to perform hierarchical clustering, compute cophenetic correlation, and create dendrograms
from sklearn.cluster import AgglomerativeClustering
from scipy.cluster.hierarchy import dendrogram, linkage, cophenet
sns.set(color_codes=True)
from sklearn.datasets import load_iris, load_wine, load_digits, make_blobs
wine = load_wine()
X_wine = wine.data
X_wine标准化数据：
scaler=StandardScaler()
X_wine_int=X_wine.copy()
X_wine_interim=scaler.fit_transform(X_wine_int)
X_wine_scaled=pd.DataFrame(X_wine_interim)
X_wine_scaled.head(10)Gap统计量（Gap Statistics）
from gap_statistic import OptimalK
from sklearn.cluster import KMeans
def KMeans_clustering_func(X, k):
"""
K Means Clustering function, which uses the K Means model from sklearn.
These user-defined functions *must* take the X (input features) and a k
when initializing OptimalK
"""
# Include any clustering Algorithm that can return cluster centers
m = KMeans(random_state=11, n_clusters=k)
m.fit(X)
return m.cluster_centers_, m.predict(X)
#--------------------create a wrapper around OptimalK to extract cluster centers and cluster labels
optimalK = OptimalK(clusterer=KMeans_clustering_func)
#--------------------Run optimal K on the input data (subset_scaled_interim) and number of clusters
n_clusters = optimalK(X_wine_scaled, cluster_array=np.arange(1, 15))
print('Optimal clusters: ', n_clusters)
#--------------------Gap Statistics data frame
optimalK.gap_df[['n_clusters', 'gap_value']]plt.figure(figsize=(10,6))
n_clusters=3
plt.plot(optimalK.gap_df.n_clusters.values, optimalK.gap_df.gap_value.values, linewidth=2)
plt.scatter(optimalK.gap_df[optimalK.gap_df.n_clusters == n_clusters].n_clusters,
optimalK.gap_df[optimalK.gap_df.n_clusters == n_clusters].gap_value, s=250, c='r')
plt.grid(True)
plt.xlabel('Cluster Count')
plt.ylabel('Gap Value')
plt.title('Gap Values by Cluster Count')
plt.axvline(3, linestyle="--")
plt.show()上图展示不同K值（从K=1到14）下的Gap统计量值。请注意，在本例中我们可以将K=3视为最佳的聚类数。如上所述，可以从图中获得Gap统计量的拐点。
Calinski-Harabasz指数（Calinski-Harabasz Inde）
Calinski-Harabasz指数，也称为方差比准则，是所有组的组间距离与组内距离之和（群内距离）的比值。较高的分数表示更好的聚类紧密度。可以使用Python的YellowBrick库中的KElbow visualizer来计算。
plt.figure(figsize=(10,6))
model = KMeans(random_state=1)
# k is a range of the number of clusters.
visualizer = KElbowVisualizer(
model, k=(2, 10), metric="calinski_harabasz", timings=True
)
visualizer.fit(X_wine_scaled) # Fit the data to the visualizer
visualizer.show() # Finalize and generate the plot上图展示不同K值（从K=1到9）下的Calinski Harabasz指数。请注意，在本例中我们可以将K=2视为最佳的聚类数。如上所述，可以从图中获得Calinski Harabasz指数的最大值。
使用“metric”超参数选择用于评估群组的评分指标。默认使用的指标是均方失真，定义为每个点到其最近质心（即聚类中心）的距离平方和。其他一些指标包括：
- distortion：点到其聚类中心的距离平方和的均值
- silhouette：聚类内距离与数据点到其最近聚类中心距离的比率，对所有数据点求平均
- calinski_harabasz：群内到群间离散度的比率
Davies-Bouldin指数（Davies-Bouldin Index）
Davies-Bouldin指数计算为每个聚类（例如Ci）与其最相似聚类（例如Cj）的平均相似度。这个指数表示聚类的平均“相似度”，其中相似度是一种将聚类距离与聚类大小相关联的度量。具有较低Davies-Bouldin指数的模型在聚类之间有更好的分离效果。对于聚类i到其最近的聚类j的相似度R定义为(Si + Sj) / Dij，其中Si是聚类i中每个点到其质心的平均距离，Dij是聚类i和j质心之间的距离。一旦计算了相似度（例如i = 1, 2, 3, ..., k）到j，我们取R的最大值，然后按聚类数k进行平均。
from sklearn.metrics import davies_bouldin_score
def get_Hmeans_score( data, distance, link, center):
"""
returns the score regarding Davies Bouldin for points to centers
INPUT:
data - the dataset you want to fit Agglomerative to
distance - the distance for AgglomerativeClustering
link - the linkage method for AgglomerativeClustering
center - the number of clusters you want (the k value)
OUTPUT:
score - the Davies Bouldin score for the Hierarchical model fit to the data
"""
hmeans = AgglomerativeClustering(n_clusters=center,linkage=link)
model = hmeans.fit_predict(data)
score = davies_bouldin_score(data, model)
return score
centers = list(range(2, 10)) #------Number of Clusters in the data
avg_scores = []
for center in centers:
avg_scores.append(get_Hmeans_score(X_wine_scaled, "euclidean", "average", center))
plt.figure(figsize=(15,6));
plt.plot(centers, avg_scores, linestyle="-", marker="o", color="b")
plt.xlabel("K")
plt.ylabel("Davies Bouldin score")
plt.title("Davies Bouldin score vs. K")上图展示不同K值（从K=1到9）下的Davies Bouldin指数。请注意，在本例中我们可以将K=2视为最佳的聚类数。如上所述，可以从图中获得Davies Bouldin指数的最小值，该值对应于最优化的聚类数。
轮廓分数（Silhouette Score）
轮廓分数衡量了考虑到聚类内部（within）和聚类间（between）距离的聚类之间的差异性。在下面的公式中，bi代表了点i到所有不属于其所在聚类的任何其他聚类中所有点的平均最短距离；ai是所有数据点到其聚类中心的平均距离。如果bi大于ai，则表示该点与其相邻聚类分离良好，但与其聚类内的所有点更接近。
plt.figure(figsize=(10,6))
model = KMeans(random_state=1)
# k is a range of the number of clusters.
visualizer = KElbowVisualizer(
model, k=(2, 10), metric="silhouette", timings=True
)
visualizer.fit(X_wine_scaled) # Fit the data to the visualizer
visualizer.show() # Finalize and generate the plot上图展示不同K值（从K=1到9）下的轮廓分数。请注意，在本例中我们可以将K=2视为最佳的聚类数。如上所述，轮廓分数可以从图中获得最大值，该值对应于最优化的聚类数。
在数据分析和机器学习中，聚类是一项关键技术，帮助我们从未标记的数据中发现模式和洞察。确定最佳聚类数是聚类过程中的重要挑战，影响分析质量。本文介绍了多种聚类验证技术如Gap统计量、Calinski-Harabasz指数、Davies Bouldin指数和轮廓分数，这些指标可以帮助我们选择最优化的聚类数，提升聚类结果的有效性和可靠性。
