一篇解读组合总和III

找出所有相加之和为 n 的 k 个数的组合。组合中只允许含有 1 - 9 的正整数，并且每种组合中不存在重复的数字。

说明：

• 所有数字都是正整数。
• 解集不能包含重复的组合。

示例 1: 输入: k = 3, n = 7 输出: [[1,2,4]]

示例 2: 输入: k = 3, n = 9 输出: [[1,2,6], [1,3,5], [2,3,4]]

思路

本题就是在[1,2,3,4,5,6,7,8,9]这个集合中找到和为n的k个数的组合。

相对于77. 组合，无非就是多了一个限制，本题是要找到和为n的k个数的组合，而整个集合已经是固定的了[1,...,9]。

想到这一点了，做过77. 组合之后，本题是简单一些了。

本题k相当于了树的深度，9(因为整个集合就是9个数)就是树的宽度。

例如 k = 2，n = 4的话，就是在集合[1,2,3,4,5,6,7,8,9]中求 k(个数) = 2, n(和) = 4的组合。

选取过程如图：

组合总和III

图中，可以看出，只有最后取到集合(1，3)和为4 符合条件。

回溯三部曲

确定递归函数参数

和77. 组合一样，依然需要一维数组path来存放符合条件的结果，二维数组result来存放结果集。

这里我依然定义path 和 result为全局变量。

至于为什么取名为path?从上面树形结构中，可以看出，结果其实就是一条根节点到叶子节点的路径。

vectorint>> result; // 存放结果集 
vector<int> path; // 符合条件的结果 

接下来还需要如下参数：

• targetSum(int)目标和，也就是题目中的n。
• k(int)就是题目中要求k个数的集合。
• sum(int)为已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。
• startIndex(int)为下一层for循环搜索的起始位置。

所以代码如下：

vectorint>> result; 
vector<int> path; 
void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) 

其实这里sum这个参数也可以省略，每次targetSum减去选取的元素数值，然后判断如果targetSum为0了，说明收集到符合条件的结果了，我这里为了直观便于理解，还是加一个sum参数。

还要强调一下，回溯法中递归函数参数很难一次性确定下来，一般先写逻辑，需要啥参数了，填什么参数。

• 确定终止条件

什么时候终止呢?

在上面已经说了，k其实就已经限制树的深度，因为就取k个元素，树再往下深了没有意义。

所以如果path.size() 和 k相等了，就终止。

如果此时path里收集到的元素和(sum) 和targetSum(就是题目描述的n)相同了，就用result收集当前的结果。

所以 ，终止代码如下：

if (path.size() == k) { 
    if (sum == targetSum) result.push_back(path); 
    return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回 
} 

• 单层搜索过程

本题和77. 组合区别之一就是集合固定的就是9个数[1,...,9]，所以for循环固定i<=9

如图：

处理过程就是 path收集每次选取的元素，相当于树型结构里的边，sum来统计path里元素的总和。

代码如下：

for (int i = startIndex; i <= 9; i++) { 
    sum += i; 
    path.push_back(i); 
    backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex 
    sum -= i; // 回溯 
    path.pop_back(); // 回溯 
} 

别忘了处理过程 和 回溯过程是一一对应的，处理有加，回溯就要有减!

参照关于回溯算法，你该了解这些!中的模板，不难写出如下C++代码：

class Solution { 
private: 
    vectorint>> result; // 存放结果集 
    vector<int> path; // 符合条件的结果 
    // targetSum：目标和，也就是题目中的n。 
    // k：题目中要求k个数的集合。 
    // sum：已经收集的元素的总和，也就是path里元素的总和。 
    // startIndex：下一层for循环搜索的起始位置。 
    void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) { 
        if (path.size() == k) { 
            if (sum == targetSum) result.push_back(path); 
            return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回 
        } 
        for (int i = startIndex; i <= 9; i++) { 
            sum += i; // 处理 
            path.push_back(i); // 处理 
            backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex 
            sum -= i; // 回溯 
            path.pop_back(); // 回溯 
        } 
    } 
 
public: 
    vectorint>> combinationSum3(int k, int n) { 
        result.clear(); // 可以不加 
        path.clear();   // 可以不加 
        backtracking(n, k, 0, 1); 
        return result; 
    } 
}; 

剪枝

这道题目，剪枝操作其实是很容易想到了，想必大家看上面的树形图的时候已经想到了。

如图：

已选元素总和如果已经大于n(图中数值为4)了，那么往后遍历就没有意义了，直接剪掉。

那么剪枝的地方一定是在递归终止的地方剪，剪枝代码如下：

if (sum > targetSum) { // 剪枝操作 
    return; 
} 

和77.组合 一样，for循环的范围也可以剪枝，i <= 9 - (k - path.size()) + 1就可以了。

最后C++代码如下：

class Solution { 
private: 
    vectorint>> result; // 存放结果集 
    vector<int> path; // 符合条件的结果 
    void backtracking(int targetSum, int k, int sum, int startIndex) { 
        if (sum > targetSum) { // 剪枝操作 
            return; // 如果path.size() == k 但sum != targetSum 直接返回 
        } 
        if (path.size() == k) { 
            if (sum == targetSum) result.push_back(path); 
            return; 
        } 
        for (int i = startIndex; i <= 9 - (k - path.size()) + 1; i++) { // 剪枝 
            sum += i; // 处理 
            path.push_back(i); // 处理 
            backtracking(targetSum, k, sum, i + 1); // 注意i+1调整startIndex 
            sum -= i; // 回溯 
            path.pop_back(); // 回溯 
        } 
    } 
 
public: 
    vectorint>> combinationSum3(int k, int n) { 
        result.clear(); // 可以不加 
        path.clear();   // 可以不加 
        backtracking(n, k, 0, 1); 
        return result; 
    } 
}; 

总结

开篇就介绍了本题与77.组合的区别，相对来说加了元素总和的限制，如果做完77.组合再做本题在合适不过。

分析完区别，依然把问题抽象为树形结构，按照回溯三部曲进行讲解，最后给出剪枝的优化。 

相信做完本题，大家对组合问题应该有初步了解了。