很早之前就想写一篇关于红黑树的文章,但是由于担心自己理解的不透彻,就一直不敢下笔。于是在重新看了很多篇文章和资料之后,决定彻彻底底的把红黑树搞清楚。也希望让你在面试中游刃有余。OK,废话不多说,开始今天的文章。
整篇文章的思路是这样的,红黑树其实就是一种数据结构,设计它的目的就是为了高效地进行增删改查,所以我们文章的顺序也会按照这个思路来进行。我们先从二叉查找树逐渐引入到红黑树,然后再详细的讲解。你如果看过其他文章想必也一定清楚,红黑树比较麻烦,希望你有点耐心,认真理解每一张图再往下分析。
一、二叉查找树
在正式开始了解红黑树之前呢,我们先来看一下二叉查找树的概念,从浅入深,希望你不要着急,下面就是是一颗二叉查找树:
从这张图我们会发现如下的规律:
(1)左子树上所有结点的值均小于或等于它的根结点的值。
(2)右子树上所有结点的值均大于或等于它的根结点的值。
如果我们想要查找一个数字11,过程是怎么样的呢?
上面的过程已经很清晰了,在查找的时候,先与根节点比较,比根节点大则从右子树查找,比根节点小则从左子树查找,然后重复上面的过程,一直到找到我们需要的元素为止。
这个过程是查找操作,对于添加和删除呢?其实原理也是一样的,我们第一步就是找到我们需要插入的位置,然后把元素插入即可。这样看二叉查找树挺好的呀?别着急我们继续往下看这种情况。
如果我们在刚刚开始的时候还是以9为根节点,然后依次插入13、15、17、19。我们看会发生什么情况:
好好地一棵树变成了这个鬼样子,成了“一边倒”了。这时候再去查找19呢?
这效率也太低下了吧,一颗二叉查找树的优势完全丧失了。怎么办呢?既然上面的二叉查找树在插入的时候变成了“一条腿”,也就是丧失了平衡,那我们干脆做出一点改进,使用平衡二叉树吧。
二、平衡二叉树
下面就是一颗平衡二叉树。
上面这颗二叉树就是平衡二叉树,也叫作AVL树。仔细分析你会发现如下特点:
(1)从任何一个节点出发,左右子树深度之差的绝对值不超过1。
(2)左右子树仍然为平衡二叉树。
现在我们再往里插入一个元素4,这时候会发生什么呢?
从图中我们可以看到,插入了4之后破坏了平衡,怎么办呢?既然破坏了平衡,那就想办法纠正过来。
我们发现经过调整之后,我们二叉树就重新回到了平衡。对于其他插入的情况,大家可以自己私下试一遍,最终你会发现一个结论,那就是平衡二叉树在插入时最多只需要两次旋转就会重新恢复平衡。
从上面这个过程我们会发现,平衡二叉树真的很不错,在查找时既有着二叉查找树的优越性,在插入时还能通过调整继续保持着。那么为什么还要使用到红黑树呢?我觉得可以从以下两个方面来考虑:
(1)删除:对于平衡二叉树来说,在最坏情况下,需要维护从被删节点到根节点这条路径上所有节点的平衡性,旋转的量级是O(logN)。但是红黑树就不一样了,最多只需3次旋转就会重新平衡,旋转的量级是O(1)。
(2)保持平衡:平衡二叉树高度平衡,这也就意味着在大量插入和删除节点的场景下,平衡二叉树为了保持平衡需要调整的频率会更高。
注意:在大量查找的情况下,平衡二叉树的效率更高,也是首要选择。
在大量增删的情况下,红黑树是首选。
鉴于以上原因,因此我们才使用到了红黑树这种更好的结构。上面提了这么多次红黑树,相信你已经迫不及待的想要认识一下了。下面就正式拉开红黑树的序幕。
三、红黑树
红黑树听名字就知道,里面涉及到两种颜色:红色和黑色。我们直接来看一下:
上面这张图就是红黑树,你会发现他有如下特征(下面的特征最好看一个特征重新看一遍红黑树):
(1)每个节点只有两种颜色:红色和黑色。
(2)根节点是黑色的。
(3)每个叶子节点(NIL)都是黑色的空节点。
(4)从根节点到叶子节点,不会出现两个连续的红色节点。
(5)从任何一个节点出发,到叶子节点,这条路径上都有相同数目的黑色节点。
这五条就是红黑树的特征,你每看一个特征最好重新看一遍图,这样可以加深理解。这五条特征看起来真的很复杂,不过正是由于这些复杂的特征才保证了红黑树的良好特性。如何保证的呢?我们从增删改查四个角度来一个一个分析一下:
1、查询节点
查询节点是最简单的一个,他的查找过程和二叉查找树一样,查找元素比当前节点大,就从右子树继续查找比较,查找元素比当前节点小,就从左子树继续查找比较。查找过程就不再赘述了。
2、插入节点
插入节点是最麻烦的一个,它分为三种情况。我们一种一种看,这样比较有条理性。
第一种情况:新节点没有父节点
没有父节点只有一种情况,就是插入的节点是整棵树第一个节点,也就是根节点,为此我们只需要把插入节点涂成黑色就OK了。这也就保证了性质2:根节点是黑色的。
第二种情况:新节点的父节点是黑色
为此我们举一个例子,比如说上面的红黑树中,我们插入节点14。来看一下会发生什么情况?
这种情况我们发现新插入节点14的父节点就是黑色的。现在为了保证红黑树的性质,我们对照每个特性来检查一遍。只要有一条不满足,我们都需要调整。我们重新对照之后会发现每一条都符合。此时不需要调整。
第三种情况:新节点的父亲节点为红色
我们还是举个例子,比如我们在最开始的红黑树基础之上插入节点21,此时会发生什么情况呢?
此时还是老规矩,对照着红黑树的5个特征一个一个来看,只要是违反了一条就需要做出调整。我们来看一下:
(1)每个节点只有两种颜色:红色和黑色。这一条满足。
(2)根节点是黑色的。这一条也满足。
(3)每个叶子节点(NIL)都是黑色的空节点。这一条满足。
(4)从根节点到叶子节点,不会出现两个连续的红色节点。这一条发现不满足。
就是上面这一条规则没有满足,所以我们此时需要调整?问题来了如何调整呢?因为直接看父节点没办法实现,所以还需要观察另外的节点,也就是新节点的叔叔节点。根据叔叔节点的颜色来调整。调整的方式有两种:变色和旋转。
(1)叔叔节点是红色:
此时插入的节点是21,但是叔叔节点是27,更好是红色。我们直接来看调整的步骤:
把新节点21的父节点变成黑色。
此时重新看一下是否满足红黑树的五条特征了没,一条一条发现,第五条没有满足,也就是从任何一个节点出发,到叶子节点,这条路径上没有相同数目的黑色节点。比如从25出发。这时候怎么办呢?那就继续调整。
第二步:把22的父节点25变成红色
这时候还是老规矩,不要嫌弃麻烦,因为只有经历了一步又一步的麻烦之后,你才能牢记那5条规则特征。我们对照之后会发现节点25和节点27是两个连续的红色节点,这时候又破坏了规则4。怎么办呢?那就继续调整就OK了。
难道这时候还要继续往上调整吗?如果你这样做就错了,因为不断地往上调整最后就会把根节点变成了红色,会走进死胡同。我们往下走。
第三步:把节点27变成黑色
来吧,继续重新审查那5条规则特征。很明显节点17和节点25是两个连续的红色,又破坏了。是不是心太累了,调整了这么久,还是没有保证那5条规则,感觉是不是还没有平衡二叉树好。如果你现在有这种感觉,我只能说,希望你继续坚持下去,胜利就在眼前。
第四步:把节点17和节点18都变成黑色节点
来来来,现在你再对照一下那5条规则,是不是完全保证了。写到这真的是太累了,和你读这篇文章的感觉一样一样的,不过这种情况也只是插入情况中的一种。继续往下看:
(1)叔叔节点是黑色:
这种情况下又分了两种情况:
第一种情况:新插入节点为父节点的左孩子
第二种情况:新插入节点为父节点的右孩子
按照第一遍的思路,我们对这两种情况执行同样的操作,最终也能保证红黑树的5条特征。
到了这一步,插入操作的所有情况就讲解完毕。另外关于左旋和右旋的知识我在这里不再说明了,因为你看到了红黑树这个程度,相信也一定看过平衡二叉树。左旋右旋哪几种情况,都会有介绍到。
3、删除节点
红黑树的删除说实话更加的复杂,如果你看过算法导论的话应该能明白一点,我们在这里也进行一个大概的讲解。
删除大致分了三种情况,
(1)第一种情况:要删除的节点有零个子节点
这种情况下最简单,也就是删除的是根节点或者是叶子节点(这里的叶子节点都是指非NULL的叶子节点),根节点直接删除即可。如果叶子节点是红色的,也可以直接删除,如果叶子节点是黑色的,那么就需要进行调整,调整的步骤和插入时调整的步骤一样。
(2)第二种情况:要删除的节点有一个子节点
这时候。把子节点的值替换掉要删除的节点的值。
现在我们的5把11替换掉之后,又回到了第一种情况。如果节点5是红色的,可以直接删除,如果节点5是黑色的,那么就需要进行调整,此时的节点5就是叶子节点。调整的步骤和插入时调整的步骤一样。
(3)第三种情况:要删除的节点有两个子节点
现在删除的节点有两个子节点,同样的我们可以执行第二种情况的操作,
若节点13之前是叶子节点,那就和第一种情况一样了,如果节点13是红色的,可以直接删除,如果节点13是黑色的,那么就需要进行调整,此时的节点13就是叶子节点。调整的步骤和插入时调整的步骤一样。
若节点13之前还有子节点,那就和第二种情况一样了。那就继续替换和判断。
以上呢就是删除的情况,最后一种情况是修改,这种情况是查找和插入的结合体,也就是先找到要修改的元素,修改完值之后,继续进行调整即可。
现在还有最后一个问题了,都说红黑树很重要,为什么重要呢?我们来看一下使用场景。
四、使用场景
红黑树的应用真的是太多了,比如说java中的HashMap和TreeMap。还有就是linux也经常使用到。这种数据结构在面试的时候是一个常问问题,希望大家能够明白和理解。如何用java手撕红黑树,在后续文章中我会添加。如有问题还请批评指正。