1.逻辑回归的限制
逻辑回归分类的时候，是把线性的函数输入进sigmoid函数进行转换，后进行分类，会在图上画出一条分类的直线，但像下图这种情况，无论怎么画，一条直线都不可能将其完全分开。
但假如我们可以对输入的特征进行一个转换，便有可能完美分类。比如：
创造一个新的特征x1：到(0,0)的距离，另一个x2：到(1,1)的距离。这样可以计算出四个点所对应的新特征，画到坐标系上如以下右图所示。这样转换之后，就可以将转换后的数据，输入给一个逻辑回归，将其完全分开。
虽然我们不容易直接找到这样的一个转换标准，但我们可以通过逻辑回归去寻找标准，使用第一个逻辑回归，寻找第一个转换后的参数x1， 再使用第二个逻辑回归，寻找第二个转换后的参数x2，将这两个作为新的输入，给到第三个逻辑回归，即可完成分类。
因此，我们可以通过参数的调整，使得输入的x1，x2归属于两类的概率（其实就是一个0-1中间的数字，我们暂且称为概率）如下图所示。那么左上角的点属于两类的概率就是（0.73,0.05），同理，其他的点也有属于两类的概率，将其放到坐标轴上，就完成了对特征的转换。将转换之后的结果作为输入，给到一个新的逻辑回归，就可以完成分类。
2.深度学习的引入
可以看出来，每一个逻辑回归单元，既可以作为接受者，接收输入数据，也可以作为发送者，将自己的输出结果作为其他的逻辑回归单元的输入数据。
多个逻辑回归单元交织在一起，就称为神经网络，每一个逻辑回归单元，就是一个神经元。这种学习方式，就叫做深度学习。
以下是一个例子：
假设初始输入数据是1和-1，并且所有的权重我们都知道，比如两个数据到第一层两个神经元的权重分别是1，-1，-2, 1，然后通过sigmoid函数转换后，那么我们就可以计算出结果分别是0.98,0.12，同样的，假如我们知道后面所有的权重（参数），我们最终可以得到两个输出，0.62,0.83
当最开头的数据输入是0和0，通过同样的转换，可以得到输出0.51,0.85。可以看出，无论输入是什么样的，我们总能够通过一系列参数，进行一系列转换，将其输出成特征完全不一样的数据。
因此，整个网络可以看作是一个函数。更一般地，如下图所示，每一个圆圈都是一个神经元，最前面的输入叫做输入层，最后面没有接任何神经元的，叫做输出层，中间所有的叫做隐藏层。像下图这样每一个神经元都连接到下一层所有的神经元，叫做全连接神经网络。
3.深度学习的计算方式
对于深度学习，通常使用矩阵运算的方式进行计算。
更一般地：
即上一层的参数*上一层给的输入值 + 偏置项，再对整体进行一个sigmoid函数转化，就可以输出一个本层的数据，供下层使用。对于所有的神经元均是一样的操作，一直到输出层。
4.神经网络的损失函数
对于一个样本来说，损失函数如下图所示：
比如输入的是样本“1”，有256个像素点，也就是256个特征，将其输入神经网络，最终得到的输出是一个10维向量，每一个维度，都会有一个概率值，比如是“1”的概率为0.8， “2”的概率为0.1等等，而实际的标签是“1”，也就是只有y1hat是1，其他是0。将这两个向量求出交叉熵并求和，如上图的式子，得出的C就是这个样本的损失。
对于整体而言，把所有的样本损失算出来并求和即可。
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