一、邻接矩阵
适用：
稠密图，就是说点数的平方与边数接近的情况，换句话说就是边特别多。
不适用：
稀疏图，就是点数的平方与边数差的特别多，边数少，但点数多，就不行了，因为空间占用太大了。
实现代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010; //图的最大点数量
int n;
int v[N][N]; //邻接矩阵
int main() {
cin >> n;
//读入到邻接矩阵
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
cin >> v[i][j];
//下面的代码将找到与点i有直接连接的每一个点以及那条边的长度
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (v[i][j]) cout << "edge from point "
<< i << " to point " << j << " with length " << v[i][j] << endl;
return 0;
}
二、邻接表
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010; //图的最大点数量
struct Edge { //记录边的终点，边权的结构体
int to; //终点
int value; //边权
};
int n, m; //表示图中有n个点，m条边
vector<Edge> p[N]; //使用vector的邻接表
int main() {
cin >> n >> m;
//m条边
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, l; //点u到点v有一条权值为l的边
cin >> u >> v >> l;
p[u].push_back({v, l});
}
//输出
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("出发点：%d ", i);
for (int j = 0; j < p[i].size(); j++)
printf(" 目标点：%d,权值：%d;", p[i][j].to, p[i][j].value);
puts("");
}
return 0;
}
三、链式前向星
链式前向星是邻接表存图的第二种方法，它自己还有两种写法，比 用向量存图的那种邻接表要快 。
它是一种以边为主的存图方式，idxidx表示最后一条边的预存入的房间号,$head[i$]表示以$i$为起点第一条边的房间号。
每条边有三个属性：
- 从
$head[i]$出发到哪个结点的边？ - 这条边的边权是多少？
- 这条边的下一条边是谁？（下一条边的房间号）
链式前向星有三种变形，需要同学们都掌握，找一种自己最喜欢的背下来，其它两种要求能看懂，因为其它人写题解，可能使用了其它方式。
1、AcWing方式（纯数组）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010; //点数最大值
int n, m; //n个点，m条边
//idx是新结点加入的数据内索引号
//h[N]表示有N条单链表的头,e[M]代表每个节点的值,ne[M]代表每个节点的下一个节点号
int h[N], e[N << 1], ne[N << 1], w[N << 1], idx;
//链式前向星
void add(int a, int b, int l) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = l, h[a] = idx++;
}
int main() {
cin >> n >> m;
//初始化为-1,每个头节点写成-1
memset(h, -1, sizeof h);
//m条边
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, l; //点u到点v有一条权值为l的边
cin >> u >> v >> l;
//加入到链式前向星
add(u, v, l);
}
//遍历每个结点
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("出发点：%d ", i);
for (int j = h[i]; j != -1; j = ne[j])
printf(" 目标点：%d,权值：%d;", e[j], w[j]);
puts("");
}
return 0;
}
三、Acwing图的存储方式
方法：使用一个二维数组 g 来存边，其中 g[u][v] 为 1 表示存在 到的边，为 0 表示不存在。如果是带边权的图，可以在 g[u][v] 中存储到的边的边权。
案例：
最短距离Dijkstra
从s到t的最短距离算法流程：
b[]表示当前已经确定最短距离的点。
dis[s] = 0, dis[其他] = +∞
for (int i = 1; i <= n; i ++)t：不在b中的最短距离的点
将t加入b[]
使用t更新其他未被确定的点的距离
代码实现：
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 510;
int n, m;
int w[N][N];
int dis[N];
bool b[N];
int dijkstra() {
memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
dis[1] = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++) {
int k = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++)
if (!b[j] && (k == -1 || dis[k] > dis[j]))
k = j;
b[k] = true;
for (int j = 1; j <= n; j ++) {
dis[j] = min(dis[j], dis[k] + w[k][j]);
}
}
if (dis[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
else return dis[n];
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
memset(w, 0x3f, sizeof w);
while (m --) {
int i, j, k;
scanf("%d %d %d", &i, &j, &k);
w[i][j] = min(w[i][j], k);
}
int t = dijkstra();
printf("%d", t);
return 0;
}2、复杂度
2、应用
邻接矩阵只适用于没有重边（或重边可以忽略）的情况。
其最显著的优点是可以查询一条边是否存在。
由于邻接矩阵在稀疏图上效率很低（尤其是在点数较多的图上，空间无法承受），所以一般只会在稠密图上使用邻接矩阵。
3、邻接表
使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如 vector g[n + 1] 来存边，其中 g[u] 存储的是点的所有出边的相关信息（终点、边权等）。
4、代码实现
数据定义：
h是n个链表的链表头, e存的是每一个节点的值, ne存的是 next指针是多少。
int h[N], e[M], ne[M], idx;
bool st[N];
5、插入边
插入一条a指向b的边
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}四、遍历
1、深度优先遍历
void dfs(int u) {
st[u] = true; // 标记已经被遍历过了
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!st[j]) dfs(j);
}
}2、广度优先遍历
void bfs() {
int q[N]; // 定义队列
int hh = 0, tt = 0; // 头和尾指针
memset(st, 0, sizeof st);
q[0] = 1;
while (hh <= tt) {
int t = q[hh ++];
st[t] = true;
cout << t << ' ';
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!st[j]) {
q[++ tt] = j;
}
}
}
}
3、复杂度
4、应用
存各种图都很适合，除非有特殊需求（如需要快速查询一条边是否存在，且点数较少，可以使用邻接矩阵）。
尤其适用于需要对一个点的所有出边进行排序的场合。
5、实现案例
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10, M = N * 2;
// h是n个链表的链表头, e存的是每一个节点的值, ne存的是 next指针是多少。
int h[N], e[M], ne[M], idx;
bool st[N];
int n; // n条边
// 插入一条a指向b的边
void add(int a, int b) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
// 深度优先遍历
void dfs(int u) {
cout << u << ' ';
st[u] = true; // 标记已经被遍历过了
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!st[j]) dfs(j);
}
}
// 广度优先遍历
void bfs() {
int q[N]; // 定义队列
int hh = 0, tt = 0; // 头和尾指针
memset(st, 0, sizeof st);
q[0] = 1;
while (hh <= tt) {
int t = q[hh ++];
st[t] = true;
cout << t << ' ';
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!st[j]) {
q[++ tt] = j;
}
}
}
}
int main () {
memset(h, -1, sizeof h);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b);
add(b, a);
}
cout << "深度优先遍历：";
dfs(1);
cout << endl;
cout << "广度优先遍历：";
bfs();
return 0;
}6、 结构体+数组
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010; //点数最大值
int n, m, idx; //n个点，m条边,idx是新结点加入的数据内索引号
//链式前向星
struct Edge {
int to; //到哪个结点
int value; //边权
int next; //同起点的下一条边的编号
} edge[N << 1]; //同起点的边的集合 N<<1就是2*N，一般的题目，边的数量通常是小于2*N的，这个看具体的题目要求
int head[N]; //以i为起点的边的集合入口处
//加入一条边，x起点，y终点，value边权
void add_edge(int x, int y, int value) {
edge[++idx].to = y; //终点
edge[idx].value = value; //权值
edge[idx].next = head[x]; //以x为起点上一条边的编号，也就是与这个边起点相同的上一条边的编号
head[x] = idx; //更新以x为起点上一条边的编号
}
int main() {
cin >> n >> m;
//m条边
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, l; //点u到点v有一条权值为l的边
cin >> u >> v >> l;
//加入到链式前向星
add_edge(u, v, l);
}
//遍历每个结点
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("出发点：%d ", i);
for (int j = head[i]; j; j = edge[j].next) //遍历每个结点的每一条边
printf(" 目标点：%d,权值：%d;", edge[j].to, edge[j].value);
puts("");
}
return 0;
}
7、 结构体+数组(2)
为什么链式前向星有两种实现方法呢？这其实是看用不用的问题，如果它用了，那么就是在加边的最后需要++，如果不用，进来就++。
第二个变化就是如果用了，那么就不能用做默认值了，所以需要初始化memset(head,-1 ,sizeof head);
第三个变化就是遍历时的条件变了，成了j!=-1,而不用的就是j就行了，我个人还是喜欢用不带的那个，就是上面的。是因为网上好多网友喜欢这种方式，如果我们看其它人的题解时，可能看不懂，所以也要了解一下。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010; //点数最大值
int n, m, idx; //n个点，m条边,idx是新结点加入的数据内索引号
//链式前向星
struct Edge {
int to; //到哪个结点
int value; //边权
int next; //同起点的下一条边的编号
} edge[N << 1]; //同起点的边的集合 N<<1就是2*N，一般的题目，边的数量通常是小于2*N的，这个看具体的题目要求
int head[N]; //以i为起点的边的集合入口处
//加入一条边，x起点，y终点，value边权
void add_edge(int x, int y, int value) {
edge[idx].to = y; //终点
edge[idx].value = value; //权值
edge[idx].next = head[x]; //以x为起点上一条边的编号，也就是与这个边起点相同的上一条边的编号
head[x] = idx++; //更新以x为起点上一条边的编号
}
int main() {
cin >> n >> m;
//初始化head数组
memset(head, -1, sizeof head);
//m条边
for (int i = 1; i <= m; i++) {
int u, v, l; //点u到点v有一条权值为l的边
cin >> u >> v >> l;
//加入到链式前向星
add_edge(u, v, l);
}
//遍历每个结点
for (int i = 1; i <= n; i++) {
printf("出发点：%d ", i);
for (int j = head[i]; j != -1; j = edge[j].next) //遍历每个结点的每一条边
printf(" 目标点：%d,权值：%d;", edge[j].to, edge[j].value);
puts("");
}
return 0;
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