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Go 语言算法之美—进阶排序

2024-12-03 00:27

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本文转载自微信公众号「roseduan写字的地方」,作者roseduan。转载本文请联系roseduan写字的地方公众号。

这篇文章再来看看几种在实践当中更加常用、也更加复杂一点的排序算法,分别是希尔排序、堆排序、快速排序、归并排序。

1、希尔排序

希尔排序其实是对插入排序的一种优化,回想一下,插入排序的流程是:将数据分为了已排序区间和未排序区间,依次遍历未排序区间的值,将其插入到已排序区间合适的位置。

插入排序的一个最大的缺点是:每次只能移动一位,这样在一些极端的情况下会非常低效;例如数据 2 3 5 7 9 0,如果将 0 移动至元素头部,需要遍历整个数组。

希尔排序的优化点就在于此,它的核心思想是将数据中的元素分为了多个组,每一组分别进行插入排序。

举一个简单的例子:有数据 35 33 42 10 14 19 27 44,首先将数据以其长度的 1/2 (也就是 4)为步长,分为了四个组,分别是 {35,14}、{33,19}、{42,27}、{10,44}。

然后对每一组分别进行插入排序,排序后的结果如下:

然后步长缩小一半,变为 2 ,将数组分为了两个组,分别是 {14,27,35,42}、{19,10,33,44}:

然后再分别对这两个组进行插入排序,结果就是 14 10 27 19 35 33 42 44。

最后,步长再缩小一半,变为 1,将数组分为了一个组(其实就是数组本身),并再进行插入排序,这样希尔排序的流程便完成了。

可以看到,希尔排序将数组分为了多个组,其实是为了尽可能的将数据变得局部有序,代码如下:

  1. func ShellSort(data []int) { 
  2.    length := len(data) 
  3.    step := length / 2 
  4.    for step >= 1 { 
  5.       for i := 0; i < length-step; i++ { 
  6.          j, k := i+step, data[i+step] 
  7.          for ; j > step-1 && data[j-step] > k; j -= step { 
  8.             data[j] = data[j-step] 
  9.          } 
  10.          data[j] = k 
  11.       } 
  12.       step /= 2 
  13.    } 

希尔排序实际应用并不是很多,它的相关复杂度如下:

 

   
Time Complexity  
Best O(nlog n)
Worst O(n2)
Average O(nlog n)
Space Complexity O(1)
Stability no

2、堆排序

要理解堆排序,必须得先明白什么是二叉堆。二叉堆(以下简称堆)是一种很优雅的数据结构,它是一种特殊的二叉树,满足二叉树的两个特性便可以叫做堆:

对于节点大于等于子树中节点值的堆,叫做大顶堆,反之则叫做小顶堆,以下是两个堆的例子:

从定义和上图中可以看到,堆的一个特点是,堆顶元素就是堆中最大(或最小)的元素。

堆其实可以使用数组来存储,堆顶元素就是数组的第一个元素,并且对于任意下标为 i 的节点,其左子节点是 2 * i + 1,右子节点是 2 * i + 2,有了这个对应关系,堆在数组中的存储就是这样的:

理解了什么是堆之后,接下来进入正题,看看如何基于堆实现排序。堆排序的步骤一般有两个,分别是构造堆和排序,下面依次介绍。

构造堆

构造堆指的是将无序的数组构造成堆(这里使用大顶堆进行讲解),使其符合堆的特征,举一个例子,对于一个完全无序的数组,其原始状态和存储结构如下图:

要使其变成大顶堆,我们可以这样做:从第一个非叶子节点开始,依次将其和子节点的值进行比较,如果小于子节点的值,交换节点顺序,然后再依次比较下去,直到叶子节点。

这样就能够始终满足堆的特性,任意节点的值总是大于其子树中所有节点的值。

排序

堆构建完成之后就是排序了,前面提到了堆有一个很重要的特性,那就是堆顶元素就是最大的元素,我们遍历数组的长度,每次都取堆顶的元素(下标为 0 的元素),将其和数组最后的元素交换位置,然后重新将剩下的数据组织成堆,继续取堆顶的最大元素,以此类推。

将两个步骤结合起来,就是堆排序的完整实现了,代码如下:

  1. // 堆排序 
  2. func HeapSort(data []int) { 
  3.    // 构建堆 
  4.    length := len(data) 
  5.    for i := (length - 2) / 2; i >= 0; i-- { 
  6.       heapify(data, length, i) 
  7.    } 
  8.  
  9.    // 排序 
  10.    for length > 0 { 
  11.       length-- 
  12.       data[length], data[0] = data[0], data[length] 
  13.       heapify(data, length, 0) 
  14.    } 
  15.  
  16. func heapify(data []intsize, i int) { 
  17.    for { 
  18.       max := i 
  19.       if 2*i+1 < size && data[2*i+1] > data[max] { 
  20.          max = 2*i + 1 
  21.       } 
  22.       if 2*i+2 < size && data[2*i+2] > data[max] { 
  23.          max = 2*i + 2 
  24.       } 
  25.       if i == max { 
  26.          break 
  27.       } 
  28.       data[i], data[max] = data[max], data[i] 
  29.       i = max 
  30.    } 

相关复杂度如下: 

Time Complexity  
Best O(nlog n)
Worst O(nlog n)
Average O(nlog n)
Space Complexity O(1)
Stability No

归并排序

归并排序基于分治思想。

分治,顾名思义就是分而治之,它是一种解决问题的思路,将原始问题分解为多个相同或相似的子问题,然后将子问题解决,并将子问题的求得的解进行合并,这样原问题就能够得到解决了。

分治思想是很多复杂算法的基础,例如归并排序、快速排序、二分查找等等。

言归正传,再来看归并排序,它的概念理解起来非常简单,如果我们要对一组数据进行排序,我们可以将这个数组分为两个子数组,子数组再进行分组,这样子数组排序之后,将结果合并起来,就能够得到原始数据排序的结果。

下面这张图展示了将一个问题分解为多个子问题的过程:

子问题得到解决之后,需要将结果合并,合并的过程如下图:

代码实现如下:

  1. //归并排序 
  2. func MergeSort(data []int) { 
  3.    mergeSortHelper(data, 0, len(data)-1) 
  4.  
  5. func mergeSortHelper(data []int, lo, hi int) { 
  6.    if lo < hi { 
  7.       mid := lo + (hi-lo)/2 
  8.       mergeSortHelper(data, lo, mid) 
  9.       mergeSortHelper(data, mid+1, hi) 
  10.       merge(data, lo, mid, hi) 
  11.    } 
  12.  
  13. func merge(data []int, lo, mid, hi int) { 
  14.    temp := make([]int, hi-lo+1) 
  15.    i, j, k := lo, mid+1, 0 
  16.    for i <= mid && j <= hi { 
  17.       if data[i] < data[j] { 
  18.          temp[k] = data[i] 
  19.          i++ 
  20.       } else { 
  21.          temp[k] = data[j] 
  22.          j++ 
  23.       } 
  24.       k++ 
  25.    } 
  26.    copy(temp[k:], data[i:mid+1]) 
  27.    copy(temp[k:], data[j:hi+1]) 
  28.    copy(data[lo:hi+1], temp[:]) 

相关复杂度如下:

 

Time Complexity  
Best O(n*log n)
Worst O(n*log n)
Average O(n*log n)
Space Complexity O(n)
Stability Yes

3、快速排序

快速排序通常叫做“快排”,它应该是应用最广泛的一个排序算法了,很多编程语言内置的排序方法,都或多或少使用到了快速排序,因为快速排序的时间复杂度可以达到 O(nlogn),并且是原地排序,前面介绍的几种排序算法都无法将这两个优点结合起来。

快排和归并排序类似,都采用了分治思想,但是它的解决思路却和归并排序不太一样。

如果要排序一个数组,我们可以从数组中选择一个数据,做为分区点(pivot),然后将小于分区点的放到分区点的左侧,大于分区点的放到其右侧,然后对于分区点左右两边的数据,继续采用这种分区的方式,直到数组完全有序。

概念读起来可能有点抽象,这里我画了一张图来帮助你理解整个排序的过程:

上图展示了第一次分区的过程,假设要排序的数组的下标是 p ~ r,我们取数组的最后一个元素 5 做为分区点,然后比 5 小的数字 0 3 1 2 移动到 5 的左边,比 5 大的数字 9 6 8 7 移动到 5 的右边。

然后以数字 5 为分界点,其左边的数字(下标为 p ~ q - 1),以及右边的数字(下标为 q + 1 ~ r),分别再进行同样的分区操作,一直分下去,直到数组完全有序,如下图:

下面的动图展示了快速排序的完整过程(注意动图中是选择第一个元素做为分区点的):

如果使用一个简单的公式来表示快速排序,可以写成这样:

  1. int q = partition(data, p, r); 
  2. quick_sort(data, p, r) = quick_sort(data, p, q - 1) + quick_sort(data, q + 1, r); 

这里有一个 partition 分区函数,它的作用是选择一个分区点,并且将小于分区点的数据放到其左边,大于分区点的放到其右边,然后返回分区点的下标。

其实这个 partition 分区函数是快速排序实现的关键,那究竟怎么实现这个函数呢?很容易想到的一种方式是:直接遍历一次原数组,依次取出小于和大于分区点的数据,将其各自存放到一个临时数组中,然后再依次拷贝回原数组中,过程如下图:

这样做虽然简单,但是存在一个缺陷,那就是每次分区都会使用额外的存储空间,这会导致快速排序的空间复杂度为 O(n),那么就不是原地排序了。

所以快速排序使用了另一种方式来实现分区,并且没有借助额外的存储空间,它是怎么实现的呢?我还是画了一张图来帮助你理解:

声明了两个指针 i 和 j,从数组的最开始处向后移动,这里的移动规则有两个:

终止的条件是 j 移动至数组末尾,然后交换分区点和 i 所在的元素,i 就是分区点的下标。

理解了这个过程之后,再来看快速排序的代码实现,就会非常的简单了,下面是一个示例:

  1. func QuickSort(data []int) { 
  2.   quickSortHelper(data, 0, len(data)-1) 
  3.  
  4. func quickSortHelper(data []int, lo, hi int) { 
  5.   if lo < hi { 
  6.     mid := partition(data, lo, hi) 
  7.     quickSortHelper(data, lo, mid-1) 
  8.     quickSortHelper(data, mid+1, hi) 
  9.   } 
  10.  
  11. func partition(data []int, lo, hi intint { 
  12.   pivot, i, j := data[hi], lo, lo 
  13.   for j < hi { 
  14.     if data[j] < pivot { 
  15.       data[j], data[i] = data[i], data[j] 
  16.       i++ 
  17.     } 
  18.     j++ 
  19.   } 
  20.   data[i], data[hi] = data[hi], data[i] 
  21.   return i 

快速排序相关复杂度如下:

Time Complexity  
Best O(n*log n)
Worst O(n2)
Average O(n*log n)
Space Complexity O(log n)
Stability No

文中的全部代码可在我的 Github 上查看:https://github.com/roseduan/Go-Algorithm

 

来源:roseduan写字的地方内容投诉

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