【数学模型】层次分析

Hello大家好，今年数学建模国赛将于9月中旬举行，是时候提前做一些准备了。

本次模型非常简单，只是介绍比较得详细，我下次注意，争取限制下字数。

文末准备了 层次分析-python  模型的实现，简单懂得模型原理便能一眼看懂代码。

文章目录

一、层次分析法的例题

1.1 两两比较获得判断矩阵

1.2 一致性正互反矩阵的引入

1.2.1 一致性检验的步骤

1.3 根据一致性正互反矩阵计算权重 

二、层次分析法

步骤：

三、层次分析法的一些局限性

四、模型拓展

1. 多个准则层： 

2. 准则不对应全部方案：

*3. 一个准则只对应自己的方案

五、代码展示

代码1：

代码2： 

层次分析(The analytic hierarchy process) 简称AHP，是建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪位运动员或者员工表现的更优秀等。） 

该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的，一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。

引例：

高考结束，坤坤面临选择大学的问题，摆在他面前的选择有两个：大学A和大学B。

坤坤觉得，他最关心的有四个方面：学习氛围，就业前景，男女比例，校园景色，权重分别为0.4，0.3，0.2，0.1。

那么坤坤要完成的，就是通过调查这两所学校的上面4个特征指标，对其进行打分，完成下表：

最终，经过坤坤百度以及各种调查，打分如下(要求同一特征不同大学分数之和为1)：

经计算：

• A = 0.4*0.6 + 0.3*0.5 + 0.2*0.3 + 0.1*0.2=0.47
• B = 0.53

B>A 因此最终小坤去了大学B。

即打分法解决评价问题时，只需要我们补充完成下面这张表格即可：

同颜色单元格之和为1。

题目：

选择好大学后，坤坤准备在开学前去旅游，他决定在城市A，城市B，城市C中选择一个作为目标地点。

请你确定评价指标、形成评价体系来为坤坤同学选择最佳的方案。

从上面居中的这段话中，很直接得就告诉我们这是一个评价类问题，那么我们不妨用刚刚学到的层次分析来解决这个问题。

解决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：

• 我们评价的目标是什么？
  • 最佳旅游目标的选择
• 我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
  • 城市A、B、C
• 评价的准则或者说指标是什么？
  • 我们根据什么东西来评价好坏？

那么问题来了，对于第三个问题，题目没给相关数据支撑，比如哪里的空气好啊费用低呀... 需要我们查阅相关的资料。

一般而言，前两个问题的答案很容易得到，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

这个时候，我们就可以去知网（或者万方、百度学术、谷歌学术等平台）搜索相关的文献，这样一来，我们的论文也就有文献引用了，让我们的数据等看起来有理有据，显得专业，还能明目张胆地借鉴学习一下他们论文中的观点。

推荐一个据说很厉害的网站：虫部落快搜 - 搜索快人一步

那么现在，假如我们替坤坤查询了资料后选择了以下五个指标：

• 景点景色
• 旅游花费
• 居住环境
• 饮食情况
• 交通便利程度

接下来，要对坤坤如何提问才能帮他做出合理的决定？

这就要用到我们最开始学的那张表了

但是，如果我们直接问坤坤：权重多少，城市ABC评分多少，会显得十分片面且不周全(第二天再问他绝对又换了个数，他自己也记不清。)

在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难 是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接 考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此 失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至 有可能提出一组隐含矛盾的数据。

——选自司守奎[kuí]老师的《数学建模算法与应用》

因此，我们采用分而治之的思想，先来处理权重吧~

问题：

• 一次性考虑这五个指标之间的关系，往往考虑不周。

解决方法：

• 两个两个指标进行比较，最终根据两两比较的结果来推算出权重。

1.1 两两比较获得判断矩阵

简单来说就是我们这5个指标分别比较，比如我觉得：景色比花费更重要，饮食比交通非常重要... 通过这样的方式对不同的重要程度赋值 并 最后计算，从而得到权值。

接下来，就是两两比较五个指标对于选择最终的旅游景点的重要性。

我们绘制如下表格，其对角线肯定都为1：

问：景色和花费相比的重要程度？

坤：我认为景色比花费略重要，介于同等重要1和稍微重要3之间吧。

问：景色和居住相比的重要程度？

坤： 我认为景色比居住要重要一点，介于稍微重要3和明显重要5之间吧。

这样坤坤回答完10次(  )，填完了这张用于计算权重的表格(重要性更加稳定精确了)：

注：实际情况下没有坤坤帮我们回答，层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的，具体我们等后面再说。(其实我们自己凭感觉填，在论文中不说怎么来的也行，后面会有获奖案例鉴赏。)

这样，我们所形成的正互反矩阵，就是层次分析法中的判断矩阵。

得到判断矩阵，我们就可以计算出权重了，方法后面再讲。 

同理，我们可以得到城市A、B、C在景色、花费、居住、饮食、交通所占的权重(得分)，因此需要再填5张表格，如问完了坤坤对于城市ABC中景色的看法：

其它关于花费、居住、饮食、交通的表我就略了。

注：一个可能出现问题的地方：

坤坤：我觉得x比y好，y比z好，z比x好或一样好。

如果把语气加重一些，谁比谁非常好，那么这种不一致的现象会更加严重。

1.2 一致性正互反矩阵的引入

此时，我们就要介绍一个东西：一致矩阵，用它来判断数据知否合理。

• 若矩阵中每个元素  且满足  ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。
• 在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。
• 若正互反矩阵满足  ，则我们称其为一致矩阵。

你看，上面这个矩阵就是一致矩阵。

比如我让i=1, j=2, k=3, 那么2*2=4：

 令i=2, j=2, k=1, 那么1*1/2=1/2：

此外除了  一致矩阵还有个特点，就是行或列对应成比例。

我们引入一致矩阵，用来检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大的差别。

引理：n阶正反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征是 ;

           且当正反矩阵A非一致时，

从上图我们可以发现，当a=4也就是上方刚开始介绍的一致矩阵，此时最大特征值最小，为3=n也就是矩阵的阶数。若a不为4，或a离4越来越远，不一致现象越明显，则其特征值也递增。

1.2.1 一致性检验的步骤

计算一致性指标CI

查下表找对应的平均随机一致性指标RI

注：在实际运用中，n很少超过10，如果指标的个数大于10，则可考虑建立 二级指标体系，或使用我们以后要学习的模糊综合评价模型。

计算一致性比例CR

如果CR < 0.1,  则可认为判断矩阵的一致性可以接受；

否则需要对判断矩阵进行修正。

1.3 根据一致性正互反矩阵计算权重 

以下表为例，虽然不是一致矩阵，但它的CR<0.1，我们选择接受不做调整。

(CR>0.1如何调整在后面)。

我们取出第一列，做归一化处理(城市ABC对于城市A的重要性是1、1/2、1/4)。

• 城市A = 1 /(1+0.5+0.2) = 0.5882 
• 城市B = 0.5/(1+0.5+0.2) = 0.2941
• 城市C = 0.2/(1+0.5+0.2) =  0.1177

之后我们拿出二三列重复上面操作：

• 城市A = 2 /(2+1+0.5) =  0.5714 
• 城市B = 1/(2+1+0.5) =  0.2857
• 城市C = 0.5/(2+1+0.5) =  =  0.1429

• 城市A = 5 /(5+2+1) = 0.625 
• 城市B = 2/(5+2+1) =  0.25
• 城市C = 1/(5+2+1) =   0.125

这样我们得到三组权重：

法1：算术平均求权重：

1. 第一步：将判断矩阵按照列归一化 （每一个元素除以其所在列的和）
2. 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
3. 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量 

• 城市A = (0.5882+0.5714+0.625)/3=0.5949
• 城市B = (0.2941+0.2857+0.25)/3=0.2766
• 城市C = (0.1177+0.1429+0.125)/3=0.1285

法2：几何平均法求权重

1. 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
2. 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
3. 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量

• 城市A = 0.5954
• 城市B = 0.2764
• 城市C = 0.1283

法3：特征值法求权重

假如我们的判断矩阵一致性可以接受，那么我们可以仿照一致矩阵权重的求法。 

一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0。

1. 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
2. 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重

该表最大特征值为3.0055，一致性比例CR=0.0053，对应的特征向量：[-0.8902，-0.4132，-0.1918]，对其进行归一化：[0.5954,0.2764,0.1283]

我们大多数情况下使用特征值法，将其带入初始要填的表：

同理这些空着的地方都可以使用同样的方式。

此时，我们终于得到了这个判断矩阵：

城市A最终得分：0.299

城市B最终得分：0.245

城市C最终得分：0.455

所以最后去城市C旅游。

层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。

AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把 复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次 结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避 决策者主观判断的缺点

步骤：

1.分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构.

 注意：如果你用到了层次分析法，那么上面这个层次结构图要放在你的建模论文中哦。

2. 对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）。

看看优秀论文的做法吧：

【2008年国赛B题一等奖】  关于高等教育学费标准的评价及建议

【2016年国赛MATLAB创新奖B题】中国人民大学‐小区开放道路通行影响

准则层—方案层的判断矩阵的数值要结合实际来填写，如果题目中有其他数据， 可以考虑利用这些数据进行计算。

例如：有一个指标是交通安全程度，现在要比较开放小区、半开放小区和封闭小区，而且 你收集到了这些小区车流量的数据，那么就可以根据这个数据进行换算作为你的判断矩阵。

3. 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重， 并进行一致性检验(检验通过权重才能用)

CR<0.1通过后，三种3方法计算权重：算术平均、几何平均、特征值法。

建议大家在比赛时三种方法都使用

以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得 到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了 采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效。

注：

• 一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进 行一致性检验；
• 在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算 权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程

当CR>0.1时如何修正？

答：往一致矩阵上调整，一致矩阵的行列成倍数关系

 所以：

根据权重矩阵计算最终得分，并进行排序。

评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和 一致矩阵差异 可能会很大。

    我们上面提到过的RI指标也只到了15：

如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？ 

层次分析法中，实际情况下没有坤坤帮我们回答，层次分析法中这张表是交给‘专家’ 填的。(谁比谁重要啊，重要程度是几呀... )，其实我们自己凭感觉填(两两比较的结果)。

该方法仍具有较强的主观性，判断/比较矩阵的构造在一定程度上是凭感觉决定的，一致性检验只是检验 感觉 有没有自相矛盾得太离谱。 

1. 多个准则层： 

与之前做法一样，不过是多算几组表格。 

2. 准则不对应全部方案：

可以把另一个方案的权重设为0

*3. 一个准则只对应自己的方案

我们只要生成这样的表即可：

先成大的部分的判断矩阵，再分别处理小的。

感觉这个模型还是很简单的。如果有不理解的地方可以联系帅气的博主。

你要购买一台笔记本电脑，要考虑其：颜值、性能、口碑、重量、保险情况，这5个方面，最终筛选出了3种品牌的电脑。

第一步：

确定了目标层、准则层、方案层后，我们要做的就是填下表：

第二步：

我们先处理第一列(权重)，其判断矩阵如下。

matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],
                       [1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])

下面我就以上面这个判断矩阵为例子，定义权重类：

代码1：

• 只定义了权重求解类，初始化时要传入一个判断矩阵。
• 往往我们层次分析问题要求解多个判断矩阵，可以自己在这基础之上定义一个AHP类，初始化时把全部判断矩阵都放进去，直接内部计算输出选择方案。

import numpy as np# 计算权重类# 首先初始化判断矩阵，检验其CR是否<0.1，如果小于则计算权重，否则提示调整矩阵内数值。class Calculate_weights:    # 初始化判断矩阵    def __init__(self, array):        self.array = array        # n为矩阵维度        self.n = array.shape[0]        # 矩阵的特征值和特征向量        self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)        # 矩阵的最大特征值        self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)        # 矩阵最大特征值对应的特征向量        self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real        # 矩阵的一致性指标CI        self.CI_value = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)        # 平均随机一致性指标RI值列表，用于一致性检验。        self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,                        1.59]        # 矩阵的一致性比例CR        self.CR_value = self.CI_value / (self.RI_list[self.n - 1])    # 一致性判断 返回布尔类型    def test_consist(self):        # 打印矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR        # 进行一致性检验判断        if self.n == 2 or self.CR_value < 0.1:  # 二阶矩阵或CR值小于0.1，可以通过一致性检验。            return True        else:  # CR值大于0.1, 一致性检验不通过。            print("判断矩阵的CR值为：" + str(self.CR_value) + ",未通过一致性检验。")            return False    # 算术平均法求权重    def cal_weight_by_arithmetic_method(self):        # 求矩阵的每列的和        col_sum = np.sum(self.array, axis=0)        # 将判断矩阵按照列归一化        array_normed = self.array / col_sum        # 计算权重向量        array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n        # 打印权重向量        print("算术平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)        # 返回权重向量的值        return array_weight    # 几何平均法求权重    def cal_weight_by_geometric_method(self):        # 求矩阵的每列的积        col_product = np.product(self.array, axis=1)        # 将得到的积向量的每个分量进行开n次方        array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)        # 将列向量归一化        array_weight = array_power / np.sum(array_power)        # 打印权重向量        print("几何平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)        # 返回权重向量的值        return array_weight    # 特征值法求权重    def cal_weight_by_eigenvalue_method(self):        # 将矩阵最大特征值对应的特征向量进行归一化处理就得到了权重        array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)        # 打印权重向量        print("特征值法计算得到的权重为：\n", array_weight)        # 返回权重向量的值        return array_weightif __name__ == "__main__":    # 给出判断矩阵    matrix = np.array([[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],                       [1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])    # 权重对象    weights_obj = Calculate_weights(matrix)    if weights_obj.test_consist():        # 算术平均法求权重        weight1 = weights_obj.cal_weight_by_arithmetic_method()        # 几何平均法求权重        weight2 = weights_obj.cal_weight_by_geometric_method()        # 特征值法求权重        weight3 = weights_obj.cal_weight_by_eigenvalue_method()

算术平均法计算得到的权重为： [0.26228108 0.47439499 0.0544921  0.09853357 0.11029827]几何平均法计算得到的权重为： [0.2636328  0.47726387 0.05307416 0.09883999 0.10718918]特征值法计算得到的权重为： [0.26360349 0.47583538 0.0538146  0.09806829 0.10867824]

很明显，性能要更重要一些：

因此我们填完了表的第一列：

其它列同理。

代码2： 

• AHP类，初始化时把全部判断矩阵都放进去，直接内部计算输出选择方案。

总之要学会变通。 

import numpy as np# 计算权重类# 首先初始化判断矩阵，检验其CR是否<0.1，如果小于则计算权重，否则提示调整矩阵内数值。class Calculate_weights:    # 初始化判断矩阵    def __init__(self, array):        self.array = array        # n为矩阵维度        self.n = array.shape[0]        # 矩阵的特征值和特征向量        self.eig_val, self.eig_vector = np.linalg.eig(self.array)        # 矩阵的最大特征值        self.max_eig_val = np.max(self.eig_val)        # 矩阵最大特征值对应的特征向量        self.max_eig_vector = self.eig_vector[:, np.argmax(self.eig_val)].real        # 矩阵的一致性指标CI        self.CI_value = (self.max_eig_val - self.n) / (self.n - 1)        # 平均随机一致性指标RI值列表，用于一致性检验。        self.RI_list = [0, 0, 0.52, 0.89, 1.12, 1.26, 1.36, 1.41, 1.46, 1.49, 1.52, 1.54, 1.56, 1.58,                        1.59]        # 矩阵的一致性比例CR        self.CR_value = self.CI_value / (self.RI_list[self.n - 1])    # 一致性判断 返回布尔类型    def test_consist(self):        # 打印矩阵的一致性指标CI和一致性比例CR        # 进行一致性检验判断        if self.n == 2 or self.CR_value < 0.1:  # 二阶矩阵或CR值小于0.1，可以通过一致性检验。            return True        else:  # CR值大于0.1, 一致性检验不通过。            print("判断矩阵的CR值为：" + str(self.CR_value) + ",未通过一致性检验。")            return False    # 算术平均法求权重    def cal_weight_by_arithmetic_method(self):        # 求矩阵的每列的和        col_sum = np.sum(self.array, axis=0)        # 将判断矩阵按照列归一化        array_normed = self.array / col_sum        # 计算权重向量        array_weight = np.sum(array_normed, axis=1) / self.n        # 打印权重向量        #print("算术平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)        # 返回权重向量的值        return array_weight    # 几何平均法求权重    def cal_weight_by_geometric_method(self):        # 求矩阵的每列的积        col_product = np.product(self.array, axis=1)        # 将得到的积向量的每个分量进行开n次方        array_power = np.power(col_product, 1 / self.n)        # 将列向量归一化        array_weight = array_power / np.sum(array_power)        # 打印权重向量        #print("几何平均法计算得到的权重为：\n", array_weight)        # 返回权重向量的值        return array_weight    # 特征值法求权重    def cal_weight_by_eigenvalue_method(self):        # 将矩阵最大特征值对应的特征向量进行归一化处理就得到了权重        array_weight = self.max_eig_vector / np.sum(self.max_eig_vector)        # 打印权重向量        #print("特征值法计算得到的权重为：\n", array_weight)        # 返回权重向量的值        return array_weightclass AHP:    def __init__(self, *args):        self.col = args[0]        self.row = args[1]        self.array = args[2:]        # 初始化最终矩阵        self.finally_matrix = np.empty((len(self.row),len(self.col),))    # 生成全部填好后的最终矩阵    def f_matrix(self):        # matrix 为每个判断矩阵，记得注意顺序，如权重在第一列。        col = 0        row = 0        for matrix in self.array:            weights_obj = Calculate_weights(matrix)            if weights_obj.test_consist():                # 特征值法求权重                weight3 = weights_obj.cal_weight_by_eigenvalue_method()                if col == 0: # 权重的权重放在列(竖着放在第一列)                    self.finally_matrix[:, col] = weight3                    col += 1                else: # 剩下的都放在行(每行横着放)                    self.finally_matrix[row, col:] = weight3                    row += 1        return self.finally_matrix    def result(self):        self.f_matrix()        res = []        for i in range(len(self.col)-1):            tem_res = np.sum(self.finally_matrix[:,0]*self.finally_matrix[:,i+1])            res.append(tem_res)        return resif __name__ == "__main__":    # 给出判断矩阵    col = ['权重', '电脑A', '电脑B', '电脑C']    row = ['颜值', '性能', '口碑', '重量', '保险']    weighting = np.array(        [[1, 1 / 2, 4, 3, 3], [2, 1, 7, 5, 5], [1 / 4, 1 / 7, 1, 1 / 2, 1 / 3], [1 / 3, 1 / 5, 2, 1, 1],         [1 / 3, 1 / 5, 3, 1, 1]])    appearance = np.array([[1, 2, 5], [1 / 2, 1, 2], [1 / 5, 1 / 2, 1]])    performance = np.array([[1, 1 / 3, 1 / 8], [3, 1, 1 / 3], [8, 3, 1]])    public_praise = np.array([[1, 1, 3], [1, 1, 3], [1 / 3, 1 / 3, 1]])    weight = np.array([[1, 3, 4], [1 / 3, 1, 1], [1 / 4, 1, 1]])    insurance = np.array([[1, 1, 1 / 4], [1, 1, 1 / 4], [4, 4, 1]])    score_result = AHP(col, row, weighting, appearance, performance, public_praise, weight, insurance).result()        print('选择{}'.format(col[np.argmax(score_result)+1]))    

选择电脑C。

来源地址：https://blog.csdn.net/suic009/article/details/126130874