一、AVL树的概念
二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。
因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
平衡因子= 右子树高度-左子树高度
如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(log2N) ，搜索时间复杂度O(log2N)
二、AVL树节点的定义
节点结构：三叉链结构（左、右、父），以及平衡因子bf+构造函数（左右为空，平衡因子初始化为0）
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf;//balance factor
AVLTreeNode(const pair<K,V>&kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{}
};
三、AVL树的插入
AVL树在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。步骤过程：
找到插入的位置：根据二叉搜索树的做法
进行插入：判断插入的位置是parent的左还是右
更新平衡因子：如果不平衡的话，就要进行旋转
找到插入位置（比较节点大小即可）：
- 插入的节点key值
>当前位置的key值，往右子树走 - 插入的节点key值
<当前位置的key值，往左子树走 - 插入的节点key值等于当前位置的key值，不能插入，返回false
插入之后，与二叉搜索树不同的是：我们还需要去进行平衡因子的更新，调平衡：
如果新增加的在右，平衡因子加加
如果新增加的在左，平衡因子减减
更新一个结点之后我们需要去进行判断，子树的高度是否发生了变化：
1.如果parent的平衡因子是0：说明之前parent的平衡因子是1或-1，说明之前parent一边高、一边低；这次插入之后填入矮的那边，parent所在的子树高度不变，不需要继续往上更新
2.如果parent的平衡因子是1或者-1：说明之前parent的平衡因子是0，两边一样高，插入之后一边更高，parent所在的子树高度发生变化，继续往上更新
3.平衡因子是2或-2，说明之前parent的平衡因子是1或-1，现在插入严重不平衡，违反规则，需要进行旋转处理
最坏的情况下：需要一直更新到根root：
我们更新平衡因子时第一个更新的就是parent,如果parent->_bf1或parent->_bf-1需要继续往上进行平衡因子的更新，向上迭代，直到parent为空的情况：
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
当parent->_bf = 2或parent->_bf==-2时，我们就需要进行旋转了：
?如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是1时，说明右边的右边比较高，我们需要进行左单旋
?如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是-1时，说明左边的左边比较高，我们需要进行右单旋
?如果parent的平衡因子是-2，cur的平衡因子是1时，我们需要进行左右双旋
?如果parent的平衡因子是2，cur的平衡因子是-1时，我们需要进行右左双旋
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2)
{
//左旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
//右旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
//左右双旋
else if (parent-> _bf == -2&&cur->_bf==1)
{
RotateLR(parent);
}
//右左双旋
else if (parent->_bf ==2&&cur->_bf ==-1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
四、AVL树的旋转
在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种。
旋转规则：
1.让这颗子树左右高度差不超过1
2.旋转过程中继续保持它是搜索树
3.更新调整孩子节点的平衡因子
4.让这颗子树的高度根插入前保持一致
1.左单旋
新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
抽象图：
a/b/c是高度为h的AVL子树，代表多数情况：h>=0,其中h可以等于0、1、2…，不过都可以抽象成h，处理情况都一样：此时parent等于2，subR等于1。
具体左旋的步骤：
subRL成为parent的右子树：注意subL和parent的关系，调整parent的右以及subRL的父（subRL可能为空）
parent成为subR的左子树：调整parent的父与subR的左
subR成为相对的根节点：调整subR与ppNode：注意parent是不是整棵树的root，如果是，则让subR为_root,同时让_root->_parent置为空
更新平衡因子
左旋调整：subR的左子树值（subRL）本身就比parent的值要大，所以可以作为parent的右子树;而parent及其左子树当中结点的值本身就比subR的值小，所以可以作为subR的左子树。
**更新平衡因子bf:**subR与parent的bf都更新为0
代码实现左旋转：
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
2.右单旋
新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
有了前面左旋的基础，我们在来看右旋就没有那么费劲了：
a/b/c是高度为h的AVL树，右旋旋转动作：b变成60的左边，60变成30的右边，30变成子树的根。
30比60小，b值是处于30和60之间，此时作为60的左边是没有问题的。
有了这个图，在结合前面左单旋的基础，我们就能很快实现我们的右单旋代码：
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
//if(_root==parent)
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
3.左右双旋
新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
a/d是高度为h的AVL树，b/c是高度为h-1的AVL树。
以30为轴点进行左单旋：b变成30的右边，30变成60的左边，60变成子树根
以90为轴点进行右单旋：c变成90的左边，90变成60的右边，60变成子树的根
左右双旋：以subL为轴点左旋，以parent为轴点进行右旋，在进行平衡因子的更新(最大的问题)
我们从总体的角度来看，左右双旋的结果就是：就是把subLR的左子树和右子树，分别作为subL和parent的右子树和左子树，同时subL和parent分别作为subLR的左右子树，最后让subLR作为整个子树的根
subLR的左子树作为subL的右子树：因为subLR的左子树结点比subL的大
subLR的右子树作为parent的左子树：因为subLR的右子树结点比parent的小
平衡因子的更新：重新判断（识别插入节点是在b还是在c）根据subLR平衡因子的初始情况进行分类：
如果subLR初始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为1、0、0（插入在b）
如果subLR的初始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、-1、0（插入在c）
如果subLR初始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、0、0（subLR自己新增）
代码实现：
//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR ->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
//更新平衡因子
if (bf == -1)//b插入,subLR左子树新增
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//c插入，subLR右子树新增
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//subLR自己新增加
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
4.右左双旋
新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
插入
subR为轴点进行右单旋：
parent为轴进行左单旋：
既右左双旋：
右左双旋后，根据subRL 初始平衡因子的不同分为三种情况分别对应subRL = 0、1、-1情况，与左右双旋情况类似。
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
五、进行验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确
如果是空树，是AVL树；高度差不大于2，并且递归左右子树的高度差都不大于2，也是AVL树；判断平衡因子和该点的高度差是否相等
//求高度
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = Height(root->_left);
int rh = Height(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
//判断平衡
bool IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& IsBalance(root->_left)
&& IsBalance(root->_right);
}
六、AVLTree的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度即log2( N) 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合.
送上源码：
#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <time.h>
using namespace std;
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf;//balance factor
AVLTreeNode(const pair<K,V>&kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_bf(0)
{}
};
template <class K,class V>
struct AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
//更新平衡因子
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
{
parent->_bf--;
}
else
{
parent->_bf++;
}
if (parent->_bf == 0)
{
break;
}
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if(parent->_bf==2||parent->_bf==-2)
{
//左旋转
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
//右旋
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
//左右双旋
else if (parent-> _bf == -2&&cur->_bf==1)
{
RotateLR(parent);
}
//右左双旋
else if (parent->_bf ==2&&cur->_bf ==-1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}
//左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
subL->_right = parent;
//if(_root==parent)
if (ppNode == nullptr)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
//左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR ->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
//更新平衡因子
if (bf == -1)//b插入,subLR左子树新增
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)//c插入，subLR右子树新增
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)//subLR自己新增加
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
//右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(subR);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
void InOrder()
{
_InOrder(_root);
}
void _InOrder(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return;
_InOrder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_InOrder(root->_right);
}
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = Height(root->_left);
int rh = Height(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
bool IsBalance()
{
return IsBalance(_root);
}
bool IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
&& IsBalance(root->_left)
&& IsBalance(root->_right);
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
//测试
void TestAVLTree()
{
//int a[] = { 8,3,1,10,6,4,7,14,13 };
//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
int a[] = { 4,2,6,1,3,5,15,7,16,14 };
AVLTree<int, int> t;
for (auto e : a)
{
t.Insert(make_pair(e,e));
}
t.InOrder();
cout << t.IsBalance() << endl;
}
void TestAVLTree2()
{
srand(time(0));
const size_t N = 100000;
AVLTree<int, int> t;
for (size_t i = 0; i < N; i++)
{
size_t x = rand();
t.Insert(make_pair(x, x));
}
//t.InOrder();
cout << t.IsBalance() << endl;
}到此这篇关于C++ AVLTree高度平衡的二叉搜索树深入分析的文章就介绍到这了,更多相关C++ AVLTree二叉搜索树内容请搜索编程网以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持编程网！
