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Python数据结构__树

2023-01-31 02:35

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树是一种非常重要的数据结构,它是非线性结构,它不是Python内置的数据结构;


树:

  1.非线性结构,每个元素可以有多个前驱和后继;

  2.树是n(n>=0)元素的集合

    n=0时,称为空树

    树只有一个特殊的没有前驱的元素,称为树的根Root

    树中除了根结点外,其余元素只能有一个前驱,可以有零个或多个后继

  3.递归定义

    树T是n(n>=0)个元素的集合。n=0时,称为空树。

    有且只有一个特殊元素根,剩余元素都可以划分为m个不相交的集合T1、T2、T3...Tm,

而每一个集合都是树,称为T的子树Subtree.

    子树也有自己的根



树的概念


legb.jpg



结点: 树中的数据元素

结点的度degree: 结点拥有的子树的数目称为度,记作d(v)

叶子结点: 结点的度为0,称为叶子结点leaf、终端结点、末端结点

分支结点: 结点的度不为0,称为非终端结点或分支结点

分支: 结点之间的关系

内部结点: 除根结点外的分支结点,当然也不包括叶子结点

树的度是树内各结点的度的最大值。D结点最大为3.树的度数就是3.



孩子(儿子Child)结点: 结点的子树的根结点成为该结点的孩子

双亲(父Parent)结点: 一个结点是它各子树的根结点的双亲

兄弟(Sibling)结点: 具有相同双亲结点的结点

祖先结点: 从根结点到该结点所经分支上所有的结点。A、B、D都是G的祖先的结点

子孙结点: 结点的所有子树上的结点都称为该结点的子孙。B的子孙是D、G、H、I

结点的层次(Level): 根结点为第一层,根的孩子为第二层,以此类推,记作L(v)

树的深度(高度Depth): 树的层次的最大值。上图的树深度为4

堂兄弟: 双亲在同一层的结点



有序树: 结点的子树是有顺序的(兄弟有大小,有先后次序),不能交换

无序树: 结点的子树是有无序的,可以交换

路径: 树中的k个结点n1、n2、...、nk,满足ni是n(i+1)的双亲,成为n1到nk的一条路径。就是一条线串下来的,

前一个都是后一个的父(前驱)结点。

路径长度 = 路径上结点数-1,也是分支数

森林:m(m>=0)棵不相交的树的集合

  对于结点而言,其子树的集合就是森林。A结点的2棵子树的集合就是森林。



树的特点:

  唯一的根

  子树不相交

  除了根以外,每个元素只能有一个前驱,可以有零个或多个后继

  根结点没有双亲结点(前驱),叶子结点没有孩子结点(后继)

  vi是vj的双亲,则L(vi) = L(vj)-1,也就是说双亲比孩子结点的层次上1



二叉树

  每个结点最多2棵子树

    二叉树不存在度数大于2的结点

  它是有序树,左子树、右子树是顺序的,不能交换次序

  即使某个结点只有一棵子树,也要确定它是左子树还是右子树


二叉树的五种基本形态

  空二叉树

  只有一个根结点

  根结点只有左子树

  根结点只有右子树

  根结点有左子树和右子树



blob.png

斜树:

  左斜树,所有结点都只有左子树;

  右斜树,所有结点都只有右子树;



满二叉树:

一棵二叉树所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子结点只存在在最下面一层

同样深度二叉树中,满二叉树结点最多。

k为深度(1<=k<=n),则结点总数为2^k-1

如下图,一个深度为4的15个结点的满二叉树

blob.png



完全二叉树Complete Binary Tree

  若二叉树的深度为k,二叉树的层数从1到k-1层的结点数都达到了最大个数,在第k层的所有结点都集中在最左边

这就是完全二叉树;

  完全二叉树由满二叉树引出;

  满二叉树一定是完全二叉树,但完全二叉树不是满二叉树;

  k为深度(1<=k<=n),则结点总数最大值为2^k-1,当达到最大值的时候就是满二叉树;


二叉树的性质

  性质1

  在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)

  性质2:

    深度为k的二叉树,至多有2^k-1个结点(k>=1)

  性质3:

    对于任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n0,度数为2的结点为n2,则有n0=n2+1

    换句话说,就是叶子结点数-1就等于度数为2的结点数;

    证明:

      总结点数为n=n0+n1+n2,n1为度数为1的总结点总数。

      一棵树的分支数为n-1,因为除了根结点外,其余结点都有一个分支,即n0+n1+n2-1

      分支数还等于n0*0+n1*1+n2*2,n2是2分支结点所以乘以2,2*n2+n1

      可得2*n2 + n1 = n0+n1+n2-1 => n2 = n0-1

  其它性质:

    高度为k的二叉树,至少有k个结点

    含有n(n>=1)的结点的二叉树高度至多为n。和一句一个意思

    含有n(n>=1)的结点的二叉树的高度至多为n,最小为math.ceil(log2(n+1)),不小于对数值的最小整数,向上取整。



完全二叉树性质

  性质1:

    具有n个结点的完全二叉树的深度为int(log2n)+1或者math.ceil(log2(n+1))

  性质2:

    如果有一棵n个结点的完全二叉树(深度为性质1),结点按照层序编号,如下图

    如果i=1,则结点i是二叉树的根,无双亲;如果i>1,则其双亲是int(i/2),向下取整。

    就是子节点的编号整除2得到的就是父结点的编号。父结点如是要是i,那么左孩子结点

    就是2i,右孩子结点就是2i+1

    如果2i>n,则结点i无左孩子,即结点i为叶子结点;否则其左孩子结点存在编号为2i

    如果2i+1>n,则结点i无右孩子,注意这里并不能说明结点i没有左孩子;否则右孩子结点存在

    编号为2i+1。

blob.png

    

  

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