二维离散傅里叶变换（DFT）
对于二维图像处理，通常使用 x , y x, yx,y 表示离散的空间域坐标变量，用 u , v u,vu,v 表示离散的频率域变量。二维离散傅里叶变换（DFT）和反变换（IDFT）为：
二维离散傅里叶变换也可以用极坐标表示：
傅里叶频谱（Fourier spectrum）为：
傅里叶相位谱（Fourier phase spectrum）为：
傅里叶功率谱（Fourier power spectrum）为：
空间取样和频率间隔是相互对应的，频率域所对应的离散变量间的间隔为：Δu=1/MΔT, Δυ=1/NΔZ。即：频域中样本之间的间隔，与空间样本之间的间隔及样本数量的乘积成反比。
空间域滤波器和频率域滤波器也是相互对应的，二维卷积定理是在空间域和频率域滤波之间建立等价关系的纽带：
这表明 F 和 H 分别是 f 和 h 的傅里叶变换；f 和 h 的空间卷积的傅里叶变换，是它们的变换的乘积。
OpenCV 实现图像傅里叶变换（cv.dft）
使用 OpenCV 中的 cv.dft() 函数也可以实现图像的傅里叶变换，cv.idft() 函数实现图像傅里叶逆变换。
函数说明：
cv.dft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst
cv.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst
参数说明：
src：输入图像，单通道灰度图像，使用 np.float32 格式
dst：输出图像，图像大小与 src 相同，数据类型由 flag 决定
flag：转换标识符
cv.DFT_INVERSE：用一维或二维逆变换取代默认的正向变换
cv.DFT_SCALE：缩放比例标识，根据元素数量求出缩放结果，常与DFT_INVERSE搭配使用
cv.DFT_ROWS: 对输入矩阵的每行进行正向或反向的傅里叶变换，常用于三维或高维变换等复杂操作
cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT：对一维或二维实数数组进行正向变换，默认方法，结果是由 2个通道表示的复数阵列，第一通道是实数部分，第二通道是虚数部分
cv.DFT_REAL_OUTPUT：对一维或二维复数数组进行逆变换，结果通常是一个尺寸相同的复数矩阵
注意事项：
1.输入图像 src 是 np.float32 格式，如图像使用 np.uint8 格式则必须先转换 np.float32 格式。
2.默认方法 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 时，输入 src 是 np.float32 格式的单通道二维数组，输出 dst 是 2个通道的二维数组，第一通道 dft[:,:,0] 是实数部分，第二通道 dft[:,:,1] 是虚数部分。
3.不能直接用于显示图像。可以使用 cv.magnitude() 函数将傅里叶变换的结果转换到灰度 [0,255]。
4.idft(src, dst, flags) 等价于 dft(src, dst, flags=DFT_INVERSE)。
5.OpenCV 实现傅里叶变换，计算速度比 Numpy 更快。
转换标识符为 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 时，cv.dft() 函数的输出是 2个通道的二维数组，使用 cv.magnitude() 函数可以实现计算二维矢量的幅值 。
函数说明：
cv.magnitude(x, y[, magnitude]) → dst
参数说明：
x：一维或多维数组，也表示复数的实部，浮点型
y：一维或多维数组，也表示复数的虚部，浮点型，数组大小必须与 x 相同
dst：输出数组，数组大小和数据类型与 x 相同，运算公式为：
傅里叶变换及相关操作的取值范围可能不适于图像显示，需要进行归一化处理。 OpenCV 中的 cv.normalize() 函数可以实现图像的归一化。
函数说明：
cv.normalize(src, dst[, alpha[, beta[, norm_type[, dtype[, mask]]]]]) → dst
参数说明：
src：输入图像
dst：输出结果，与输入图像同尺寸同类型
alpha：归一化后的最小值，可选项，默认值为0
beta：归一化后的最大值，可选项，默认值为1
norm_type：归一化类型
- NORM_INF：Linf 范数（绝对值的最大值）
- NORM_L1：L1 范数（绝对值的和）
- NORM_L2：L2 范数（欧几里德距离），默认类型
- NORM_MINMAX：线性缩放，常用类型
dtype：可选项，默认值 -1，表示输出矩阵与输入图像类型相同
mask：掩模遮罩，可选项，默认无遮罩
傅里叶变换在理论上需要O(MN)²次运算，非常耗时；快速傅里叶变换只需要O(MN㏒(MN)) 次运算就可以完成。
OpenCV 中的傅里叶变换函数 cv.dft() 对于行数和列数都可以分解为2^p*3^q*5^r的矩阵的计算性能最好。为了提高运算性能，可以对原矩阵的右侧和下方补 0，以满足该分解条件。OpenCV 中的 cv.getOptimalDFTSize() 函数可以实现图像的最优 DFT 尺寸扩充，适用于 cv.dft() 和 np.fft.fft2()。
函数说明：
cv.getOptimalDFTSize(versize) → retval
参数说明：
versize：数组大小
retval：DFT 扩充的最优数组大小
示例代码
# 8.11：OpenCV 实现二维图像的离散傅里叶变换
imgGray = cv2.imread("../images/Fig0424a.tif", flags=0) # flags=0 读取为灰度图像
# cv2.dft 实现图像的傅里叶变换
imgFloat32 = np.float32(imgGray) # 将图像转换成 float32
dft = cv2.dft(imgFloat32, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) # 傅里叶变换
dftShift = np.fft.fftshift(dft) # 将低频分量移动到频域图像的中心
# 幅度谱
# ampSpe = np.sqrt(np.power(dft[:,:,0], 2) + np.power(dftShift[:,:,1], 2))
dftAmp = cv2.magnitude(dft[:,:,0], dft[:,:,1]) # 幅度谱，未中心化
dftShiftAmp = cv2.magnitude(dftShift[:,:,0], dftShift[:,:,1]) # 幅度谱，中心化
dftAmpLog = np.log(1 + dftShiftAmp) # 幅度谱对数变换，以便于显示
# 相位谱
phase = np.arctan2(dftShift[:,:,1], dftShift[:,:,0]) # 计算相位角(弧度制)
dftPhi = phase / np.pi*180 # 将相位角转换为 [-180, 180]
print("dftMag max={}, min={}".format(dftAmp.max(), dftAmp.min()))
print("dftPhi max={}, min={}".format(dftPhi.max(), dftPhi.min()))
print("dftAmpLog max={}, min={}".format(dftAmpLog.max(), dftAmpLog.min()))
# cv2.idft 实现图像的逆傅里叶变换
invShift = np.fft.ifftshift(dftShift) # 将低频逆转换回图像四角
imgIdft = cv2.idft(invShift) # 逆傅里叶变换
imgRebuild = cv2.magnitude(imgIdft[:,:,0], imgIdft[:,:,1]) # 重建图像
plt.figure(figsize=(9, 6))
plt.subplot(231), plt.title("Original image"), plt.axis('off')
plt.imshow(imgGray, cmap='gray')
plt.subplot(232), plt.title("DFT Phase"), plt.axis('off')
plt.imshow(dftPhi, cmap='gray')
plt.subplot(233), plt.title("Rebuild image with IDFT"), plt.axis('off')
plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')
plt.subplot(234), plt.title("DFT amplitude spectrum"), plt.axis('off')
plt.imshow(dftAmp, cmap='gray')
plt.subplot(235), plt.title("DFT-shift amplitude"), plt.axis('off')
plt.imshow(dftShiftAmp, cmap='gray')
plt.subplot(236), plt.title("Log-trans of DFT amp"), plt.axis('off')
plt.imshow(dftAmpLog, cmap='gray')
plt.tight_layout()
plt.show()
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